向量公式大全

向量公式 设a（x，y），bx，y。 1、向量的加法 向量的加法满意平行四边形法则和三角形法则。 ABBCAC。 abxx，yy。 a00aa。 向量加法的运算律 交换律abba； 结合律abcabc。 2、向量的减法 假如a、b是互为相反的向量，那么a-b，b-a，ab0. 0的反向量为0 AB-ACCB. 即“共同起点，指向被减” ax,y bx,y 则 a-bx-x,y-y. 4、数乘向量 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣∣λ∣∣a∣。 当λ＞0时，λa与a同方向； 当λ＜0时，λa与a反方向； 当λ0时，λa0，方向随意。 当a0时，对于随意实数λ，都有λa0。 注按定义知，假如λa0，那么λ0或a0。 实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍； 当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。 数与向量的乘法满意下面的运算律 结合律λabλabaλb。 向量对于数的安排律（第一安排律）λμaλaμa. 数对于向量的安排律（其次安排律）λabλaλb. 数乘向量的消去律① 假如实数λ≠0且λaλb，那么ab。② 假如a≠0且λaμa，那么λμ。 3、向量的的数量积 定义已知两个非零向量a,b。作OAa,OBb,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作ab。若a、b不共线，则ab|a||b|cos〈a，b〉；若a、b共线，则ab-∣a∣∣b∣。 向量的数量积的坐标表示abxxyy。 向量的数量积的运算律 abba（交换律）； λabλab关于数乘法的结合律； （abcacbc（安排律）； 向量的数量积的性质 aa|a|的平方。 a⊥b 〈〉ab0。 |ab|≤|a||b|。 向量的数量积与实数运算的主要不同点 1、向量的数量积不满意结合律，即abc≠abc；例如ab2≠a2b2。 2、向量的数量积不满意消去律，即由 abac a≠0，推不出 bc。 3、|ab|≠|a||b| 4、由 |a||b| ，推不出 ab或a-b。 4、向量的向量积 定义两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作ab。若a、b不共线，则ab的模是∣ab∣|a||b|sin〈a，b〉；ab的方向是垂直于a和b，且a、b和ab按这个次序构成右手系。若a、b共线，则ab0。 向量的向量积性质 ∣ab∣是以a和b为边的平行四边形面积。 aa0。 a‖b〈〉ab0。 向量的向量积运算律 ab-ba； （λa）bλ（ab）a（λb）； （ab）cacbc. 注向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。 向量的三角形不等式 1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣ab∣≤∣a∣∣b∣； ① 当且仅当a、b反向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣∣b∣。 ① 当且仅当a、b同向时，左边取等号； ② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。 定比分点 定比分点公式（向量P1Pλ向量PP2） 设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的随意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1Pλ向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1，P2x2,y2，Px,y，则有 OPOP1λOP21λ；（定比分点向量公式） xx1λx2/1λ, yy1λy2/1λ。（定比分点坐标公式） 我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式 三点共线定理 若OCλOA μOB ,且λμ1 ,则A、B、C三点共线 三角形重心推断式 在△ABC中，若GA GB GCO,则G为△ABC的重心 [编辑本段]向量共线的重要条件 若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使aλb。 a//b的重要条件是 xy-xy0。 零向量0平行于任何向量。 [编辑本段]向量垂直的充要条件 a⊥b的充要条件是 ab0。 a⊥b的充要条件是 xxyy0。 零向量0垂直于任何向量. 5 / 5