向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广
向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广 一、奔驰定理及证明 45416027j 关注 图1 如图1,已知P为内一点,则 奔驰定理 证明若,则,不妨设 1 同理可得, 奔驰定理得证 最简洁的一个就是面积法。用三角形面积公式带入,约去三条线段长度之积,得到三个单位 向量的关系,将它们放入单位圆中。图2 如图2,已知,所对的角分别为则 真奔驰定理 这时的图形就真的很想奔驰车标了,所以我称它【真奔驰定理】。 奔驰车标 接下来,我们要证明的就是这个了。 这个证明只须要建立平面直角坐标系,利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明白。 于是整个定理就得到了证明。 二、奔驰定理在向量中应用 例1、若内接于以O为圆心,以1为半径的圆,且,则该的面积为 。 答案 答案解析由奔驰定理得 例2、【2016年清华领军】,则 答案 例3、,且满意|PB|2,|PA|2,,且,则 的面积为( ) 答案 三、奔驰定理推广 推广1、假如P不在三角形内呢 既然有向量,那么我们可以给面积也定义方向,当然有向面积不是向量,只是有正负,内部为正,外部为负。因为我没有想出合适的符号,所以用了向量的符号。在三角函数定义时,三角函数线是有向线段,x轴上方为正,下方为负 图3 如图3,已知P为平面内一点,则 EX奔驰定理 这个是对奔驰定理的推广,我称它为【EX奔驰定理】。 那么最终我们对它做进一步推广,大家可以来思索一下。 推广2、【EX奔驰定理-A】将三角形改为多边形,结论是否照旧成立 推广3、【EX奔驰定理-B】将三角形改为棱锥,P为顶点,结论是否照旧成立 若不成立,须要如何修改 4