同角三角函数的基本关系式知识讲解

同角三角函数的基本关系式学问讲解 同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆，理解同角三角函数的基本关系式，驾驭已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一同角三角函数的基本关系式 1平方关系 2商数关系 3倒数关系，， 要点诠释 1这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“随意”一个角使得函数有意义的前提下关系式都成立； 2是的简写； 3在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和肯定值的概念，应留意“”的选取。 要点二同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形 ， 2．商数关系式的变形 。 【典型例题】 类型一已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知tan－2，求sin，cos的值。 【思路点拨】先利用,求出sin－2cos，然后结合sin2cos21，求出sin，cos。 【解析】 解法一∵tan－2，∴sin－2cos。 ① 又sin2cos21， ② 由①②消去sin得－2cos2cos21，即。 当为其次象限角时，，代入①得。 当为第四象限角时，，代入①得。 解法二∵tan－2＜0，∴为其次或第四象限角。 又由，平方得。 ∴，即。 当为其次象限角时，。 。 当为第四象限角时，。 。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中假如角所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角所在象限不确定，则应分类探讨，有两种结果，需特殊留意若已知三角函数值以字母a给出，应就所在象限探讨。 举一反三 【变式1】已知是的一个内角，且，求 【思路点拨】依据可得的范围再结合同角三角函数的关系式求解. 【解析】为钝角， 由平方整理得 例2．已知cosm（－1≤m≤1），求sin的值。 【解析】（1）当m0时，角的终边在y轴上， ①当角的终边在y轴的正半轴上时，sin1； ②当角的终边在y轴的负半轴上时，sin－1。 （2）当m1时，角的终边在x轴上，此时，sin0。 （3）当|m|＜1且m≠0时， ∵sin21cos21m2， ∴①当角为第一象限角或其次象限角时，， ②当角为第三象限角或第四象限角时，。 【总结升华】当角的范围不确定时，要对角的范围进行探讨，切记不要遗漏终边落在坐标轴上的状况。 类型二利用同角关系求值 例3．已知求 （1）的值；（2）的值； （3）的值；（4）及的值 【思路点拨】同角三角函数基本关系是反映了各种三角函数之间的内在联系，为三角函数式的恒等变形供应了工具及方法。 【答案】（1）（2）（3）0（4）或 【解析】（1）由已知 （2） （3） （4）由，解得或 【总结升华】本题给出了及三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了这个隐含条件。 举一反三 【变式1】已知，求下列各式的值 （1）；（2）sin3cos3。 【解析】 因为， 所以， 所以。 （1） （2）。 【总结升华】 对于已知sincosm型的问题，常有两种解法一是两边平方，得2sincosm2－1，联立以上两个式子解出sin，cos的值，从而使问题得以解决；二是对所求式子进行变形，化为sincos，sincos的形式代入求解，解题时留意正、负号的探讨及确定。 例4．已知tan3，求下列各式的值。 （1）；（2）；（3）。 【思路点拨】由已知可以求出，进而代入得解，但过程繁琐。在关于“齐次”式中可以运用“弦化切”，转化成关于tan的式子，然后利用已知求解. 【解析】（1）原式的分子分母同除以cos（cos≠0）得， 原式。 （2）原式的分子分母同除以cos2（cos2≠0）得， 原式。 （3）用“1”来代换， 原式。 【总结升华】 ①已知tan的值，求关于sin、cos的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos≠0，所以可用cosn（n∈N*）除之，将被求式转化为关于tan的表示式，可整体代入tanm的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin2b sincosc cos2的值，留意将分母的1化为1sin2cos2代入，转化为关于tan的表达式后再求值。 举一反三 【变式1】（1）已知tan3，求sin2－3sincos1的值； （2）已知，求的值。 【解析】（1）∵tan3，1sin2cos2， ∴原式 。 （2）由，得，解得 ∴ 。 类型三利用同角关系化简三角函数式 例5．化简。 【解析】 解法一原式 。 解法二原式 。 解法三原式 。 【总结升华】以上三种解法虽然思路不同，但是主要都是应用公式sin2cos21，解法二和解法三都是顺用公式，而解法一则是逆用公式，三种解法中，解法一最为简洁。这里，所谓逆用公式sin2cos21，实质上就是“1”的一种三角代换“1sin2cos2”，1的三角代换在三角函数式的恒等变形过程中有着广泛的应用。 举一反三 【变式1】化简 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）－1（2）（3）略（4）略 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 ， 类型四利用同角关系证明三角恒等式 例6．求证。 【思路点拨】利用同角三角函数关系式对式子的左边或右边进行化简，使之及式子的另一边相同。 【解析】 证法一右边 左边。 证法二左边， 右边， 所以左边右边，原等式成立。 证法三左边， 右边， 所以左边右边，原等式成立。 【总结升华】 本题主要考查三角恒等式的证明方法。就一般状况而言，证明三角恒等式时，可以从左边推到右边，也可以从右边推到左边，本着化繁就简的原则，即从较繁的一边推向较简的一边；还可以将左、右两边同时推向一个中间结果；有时候改证其等价命题更为便利。但是，不管实行哪一种方式，证明时都要“盯住目标，据果变形”。化简证明过程中常用的技巧有弦切互化，运用分式的基本性质变形，分解因式，回来定义等。 举一反三 【变式1】求证. 【解析】证法一由题意知，所以. ∴左边右边. ∴原式成立. 证法二由题意知，所以. 又∵， ∴. 证法三由题意知，所以. ， ∴. 【变式2】已知，求证。 【证明】∵，∴， ∵，∴。 ∴。 7 / 7