同济第六版《高等数学》教案WORD版-第12章-微分方程

高等数学教案 12 微分方程 第十二章 微分方程 教学目的 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．娴熟驾驭变量可分别的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简洁的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程， 和 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．驾驭二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简洁的应用问题。 教学重点 1、 可分别的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、 可降阶的高阶微分方程， 和 3、 二阶常系数齐次线性微分方程； 4、 自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点 1、 齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、 线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行探讨. 因此如何找寻出所须要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在很多问题中, 往往不能干脆找出所须要的函数关系, 但是依据问题所供应的状况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行探讨, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点1, 2, 且在该曲线上任一点Mx, y处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为yyx. 依据导数的几何意义, 可知未知函数yyx应满意关系式称为微分方程 . 1 此外, 未知函数yyx还应满意下列条件 x1时, y2, 简记为y|x12. 2 把1式两端积分, 得称为微分方程的通解 , 即yx2C, 3 其中C是随意常数. 把条件“x1时, y2”代入3式, 得 212C, 由此定出C1. 把C1代入3式, 得所求曲线方程称为微分方程满意条件y|x12的解 yx21. 例2 列车在平直线路上以20m/s相当于72km/h的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s2. 问起先制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程 解 设列车在起先制动后t秒时行驶了s米. 依据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数sst应满意关系式 . 4 此外, 未知函数sst还应满意下列条件 t0时, s0, . 简记为s|t00, s|t020. 5 把4式两端积分一次, 得 ; 6 再积分一次, 得 s-0.2t2 C1t C2, 7 这里C1, C2都是随意常数. 把条件v|t020代入6得 20C1; 把条件s|t00代入7得0C2. 把C1, C2的值代入6及7式得 v-0.4t 20, 8 s-0.2t220t. 9 在8式中令v0, 得到列车从起先制动到完全停居处需的时间 s. 再把t50代入9, 得到列车在制动阶段行驶的路程 s-0.25022050500m. 解 设列车在起先制动后t秒时行驶了s米, s-0.4, 并且s|t00, s|t020. 把等式s-0.4两端积分一次, 得 s-0.4tC1, 即v-0.4tC1C1是随意常数, 再积分一次, 得 s-0.2t2 C1t C2 C1, C2都C1是随意常数. 由v|t020得20C1, 于是v-0.4t 20; 由s|t00得0C2, 于是s-0.2t220t. 令v0, 得t50s. 于是列车在制动阶段行驶的路程 s-0.25022050500m. 几个概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x3 yx2 y-4xy3x2 , y4 -4y10y-12y5ysin2x, yn 10, 一般n阶微分方程 Fx, y, y, , yn 0. ynfx, y, y, , yn-1 . 微分方程的解 满意微分方程的函数把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式叫做该微分方程的解. 准确地说, 设函数yjx在区间I上有n阶连续导数, 假如在区间I上, F[x, jx, jx, , jn x]0, 那么函数yjx就叫做微分方程Fx, y, y, , yn 0在区间I上的解. 通解 假如微分方程的解中含有随意常数, 且随意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.