同济大学第六版高等数学上册课后答案全集

高等数学第六版上册课后习题答案 第一章 习题1-1 1. 设A-, -55, , B[-10, 3, 写出AB, AB, A\B及A\A\B的表达式. 解 AB-, 35, , AB[-10, -5, A\B-, -105, , A\A\B[-10, -5. 2. 设A、B是随意两个集合, 证明对偶律 ABCAC BC . 证明 因为 xABCxAB xA或xB xAC或xBC xAC BC, 所以 ABCAC BC . 3. 设映射f X Y, AX, BX . 证明 1fABfAfB; 2fABfAfB. 证明 因为 yfABxAB, 使fxy 因为xA或xB yfA或yfB yfAfB, 所以 fABfAfB. 2因为 yfABxAB, 使fxy因为xA且xB yfA且yfB y fAfB, 所以 fABfAfB. 4. 设映射f XY, 若存在一个映射g YX, 使, , 其中IX、IY分别是X、Y上的恒等映射, 即对于每一个xX, 有IX xx; 对于每一个yY, 有IY yy. 证明 f是双射, 且g是f的逆映射 gf -1. 证明 因为对于随意的yY, 有xgyX, 且fxf[gy]Iy yy, 即Y中随意元素都是X中某元素的像, 所以f为X到Y的满射. 又因为对于随意的x1x2, 必有fx1fx2, 否则若fx1fx2g[ fx1]g[fx2] x1x2. 因此f既是单射, 又是满射, 即f是双射. 对于映射g YX, 因为对每个yY, 有gyxX, 且满意fxf[gy]Iy yy, 按逆映射的定义, g是f的逆映射. 5. 设映射f XY, AX . 证明 1f -1fAA; 2当f是单射时, 有f -1fAA . 证明 1因为xA fxyfA f -1yxf -1fA, 所以 f -1fAA. 2由1知f -1fAA. 另一方面, 对于随意的xf -1fA存在yfA, 使f -1yxfxy . 因为yfA且f是单射, 所以xA. 这就证明白f -1fAA. 因此f -1fAA . 6. 求下列函数的自然定义域 1; 解 由3x20得. 函数的定义域为. 2; 解 由1-x20得x1. 函数的定义域为-, -1-1, 11, . 3; 解 由x0且1-x20得函数的定义域D[-1, 00, 1]. 4; 解 由4-x20得 |x|2. 函数的定义域为-2, 2. 5; 解 由x0得函数的定义D[0, . 6 ytanx1; 解 由k0, 1, 2, 得函数的定义域为k0, 1, 2, . 7 yarcsinx-3; 解 由|x-3|1得函数的定义域D[2, 4]. 8; 解 由3-x0且x0得函数的定义域D-, 00, 3. 9 ylnx1; 解 由x10得函数的定义域D-1, . 10. 解 由x0得函数的定义域D-, 00, . 7. 下列各题中, 函数fx和gx是否相同为什么 1fxlg x2, gx2lg x; 2 fxx, gx; 3,. 4fx1, gxsec2x-tan2x . 解 1不同. 因为定义域不同. 2不同. 因为对应法则不同, x0时, gx-x. 3相同. 因为定义域、对应法则均相相同. 4不同. 因为定义域不同. 8. 设, 求, , , j-2, 并作出函数yjx的图形. 解 , , , . 9. 试证下列函数在指定区间内的单调性 1, -, 1; 2yxln x, 0, . 证明 1对于随意的x1, x2-, 1, 有1-x10, 1-x20. 因为当x1x2时, , 所以函数在区间-, 1内是单调增加的. 2对于随意的x1, x20, , 当x1x2时, 有 , 所以函数yxln x在区间0, 内是单调增加的. 10. 设 fx为定义在-l, l内的奇函数, 若fx在0, l内单调增加, 证明fx在-l, 0内也单调增加. 证明 对于x1, x2-l, 0且x1x2, 有-x1, -x20, l且-x1-x2. 因为fx在0, l内单调增加且为奇函数, 所以 f-x2f-x1, -fx2-fx1, fx2fx1, 这就证明白对于x1, x2-l, 0, 有fx1 fx2, 所以fx在-l, 0内也单调增加. 11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间-l, l上的, 证明 1两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; 2两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. 证明 1设Fxfxg