同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章 无穷级数

高等数学教案 11 无穷级数 第十一章 无穷级数 教学目的 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，驾驭级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．驾驭几何级数与P级数的收敛与发散的条件。 3．驾驭正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．驾驭交织级数的莱布尼茨判别法。 5．了解随意项级数确定收敛与条件收敛的概念，以及确定收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并驾驭幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数绽开为泰勒级数的充分必要条件。 10．驾驭，和的麦克劳林绽开式，会用它们将一些简洁函数间接绽开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数绽开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l，l]上的函数绽开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数绽开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 教学重点 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交织级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林绽开式； 6、傅里叶级数。 教学难点 1、 比较判别法的极限形式； 2、 莱布尼茨判别法； 3、 随意项级数的确定收敛与条件收敛； 4、 函数项级数的收敛域及和函数； 5、 泰勒级数； 6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。 11. 1 常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 常数项级数 给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1 u2 u3 un 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为, 即 , 其中第n项u n 叫做级数的一般项. 级数的部分和 作级数的前n项和 称为级数的部分和. 级数敛散性定义 假如级数的部分和数列有极限s, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限s叫做这级数的和, 并写成 ; 假如没有极限, 则称无穷级数发散. 余项 当级数收敛时, 其部分和s n是级数的和s的近似值, 它们之间的差值 rns-snun1un2 叫做级数的余项. 例1 探讨等比级数几何级数 的敛散性, 其中a0, q叫做级数的公比. 例1 探讨等比级数a0的敛散性. 解 假如q1, 则部分和 . 当|q|1时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当|q|1时, 因为, 所以此时级数发散. 假如|q|1, 则当q1时, sn na, 因此级数发散; 当q-1时, 级数成为 a-aa-a , 时|q|1时, 因为sn 随着n为奇数或偶数而等于a或零, 所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述, 假如|q|1, 则级数收敛, 其和为; 假如|q|1, 则级数发散. 仅当|q|1时, 几何级数a0收敛, 其和为. 例2 证明级数 123 n 是发散的. 证 此级数的部分和为 . 明显, , 因此所给级数是发散的. 例3 判别无穷级数 的收敛性. 解 由于 , 因此 从而 , 所以这级数收敛, 它的和是1. 例3 判别无穷级数的收敛性. 解 因为 , 从而 , 所以这级数收敛, 它的和是1. 提示 . 二、收敛级数的基本性质 性质1 假如级数收敛于和s, 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛, 且其和为ks. 性质1 假如级数收敛于和s, 则级数也收敛, 且其和为ks. 性质1 假如, 则. 这是因为, 设与的部分和分别为sn与sn, 则 . 这表明级数收敛, 且和为ks. 性质2 假如级数、分别收敛于和s、s, 则级数也收敛, 且其和为ss. 性质2 假如、, 则. 这是因为, 假如、、的部分和分别为sn、sn、tn, 则 . 性质3 在级数中去掉、加上或变更有限项, 不会变更级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的, 级数也是收敛的, 级数也是收敛的. 性质4 假如级数收敛, 则对这级数的项随意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应留意的问题 假如加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数 1-11-1 收敛于零, 但级数1-11-1 却是发散的. 推论 假如加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 级数收敛的必要条件 性质5 假如收敛, 则它的一般项un 趋于零, 即. 性质5 假如收敛, 则. 证 设级数的部分和为sn, 且, 则 . 应留意的问题 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数 是发散的. 例4 证明调和级数是发散的. 证 假如级数收敛且其和为s, sn是它的部分和. 明显有及. 于是. 但另一方面, , 故, 冲突. 这冲突说明级数必定发散. 11. 2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 定理1 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列{sn}有界. 定