同济大学线性代数第六版课后答案(全)

第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式 1; 解 2-430-1-1118 -013-2-18-1-4-1 -24816-4-4. 2; 解 acbbaccba-bbb-aaa-ccc 3abc-a3-b3-c3. 3; 解 bc2ca2ab2-ac2-ba2-cb2 a-bb-cc-a. 4. 解 xxyyyxxyxyyx-y3-xy3-x3 3xyxy-y3-3x2 y-x3-y3-x3 -2x3y3. 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数 11 2 3 4; 解 逆序数为0 24 1 3 2; 解 逆序数为4 41, 43, 42, 32. 33 4 2 1; 解 逆序数为5 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. 42 4 1 3; 解 逆序数为3 2 1, 4 1, 4 3. 51 3 2n-1 2 4 2n; 解 逆序数为 3 2 1个 5 2, 5 42个 7 2, 7 4, 7 63个 2n-12, 2n-14, 2n-16, , 2n-12n-2 n-1个 61 3 2n-1 2n 2n-2 2. 解 逆序数为nn-1 3 21个 5 2, 5 4 2个 2n-12, 2n-14, 2n-16, , 2n-12n-2 n-1个 4 21个 6 2, 6 42个 2n2, 2n4, 2n6, , 2n2n-2 n-1个 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23的项的一般形式为 -1ta11a23a3ra4s, 其中rs是2和4构成的排列, 这种排列共有两个, 即24和42. 所以含因子a11a23的项分别是 -1ta11a23a32a44-11a11a23a32a44-a11a23a32a44, -1ta11a23a34a42-12a11a23a34a42a11a23a34a42. 4. 计算下列各行列式 1; 解 . 2; 解 . 3; 解 . 4. 解 abcdabcdad1. 5. 证明 1a-b3; 证明 a-b3 . 2; 证明 . 3; 证明 c4-c3, c3-c2, c2-c1得 c4-c3, c3-c2得 . 4 a-ba-ca-db-cb-dc-dabcd; 证明 a-ba-ca-db-cb-dc-dabcd. 5xna1xn-1 an-1xan . 证明 用数学归纳法证明. 当n2时, , 命题成立. 假设对于n-1阶行列式命题成立, 即 Dn-1xn-1a1 xn-2 an-2xan-1, 则Dn按第一列绽开, 有 xD n-1anxna1xn-1 an-1xan . 因此, 对于n阶行列式命题成立. 6. 设n阶行列式Ddetaij, 把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转, 依次得 , , , 证明, D3D . 证明 因为Ddetaij, 所以 . 同理可证 . . 7. 计算下列各行列式Dk为k阶行列式 1, 其中对角线上元素都是a, 未写出的元素都是0; 解 按第n行绽开 an-an-2an-2a2-1. 2; 解 将第一行乘-1分别加到其余各行, 得 , 再将各列都加到第一列上, 得 [xn-1a]x-an-1. 3; 解 依据第6题结果, 有 此行列式为范德蒙德行列式. . 4; 解 按第1行绽开 . 再按最终一行绽开得递推公式 D2nandnD2n-2-bncnD2n-2, 即D2nandn-bncnD2n-2. 于是 . 而 , 所以 .