同济版高数试卷及答案

模拟试卷一 一、填空题（每小题3分，满分18分） 1、若函数,则 . 2、设函数,则 . 3、交换积分次序 . 4、曲面包含在柱面内的面积可用二次积分表示为不必详细计算 . 5、已知,,则 . 6、母线平行于轴，准线为两曲面与 的交线的柱面方程为 二、单项选择题（每小题3分，满分12分） 1、在点的偏导数及存在是在该点可微的 . A. 充分条件B. 必要条件 C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 2、函数在点处沿从点到点的方向的方向导数为 . A. B. C. D. 3、若在处收敛,则此级数在处 . A. 条件收敛B. 肯定收敛C. 发散D.收敛性不能确定 4、设为；为且,则使 成立的充分条件是 . AB CD 三、计算下列各题（每小题7分，满分49分） 1、设,其中具有二阶连续偏导数,求,,. 2、求曲面在点处的法线方程. 3、计算. 4、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域. 5、求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数. 6、 将函数绽开为的幂级数. 7、过点且与直线， 平行的平面方程。 四、应用题（每小题8分，满分16分） 1、求旋转椭球面在第一卦限的一点,使该点处的切平面在三个坐标轴上的截距平方和最小. 2、设球体占有闭区域,它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方,试求这球体的质量. 五、证明题（5分） 若收敛,试证也收敛. 模拟试卷一答案 一、1、； 2、； 3、； 4、或； 5、； 6、. 二、1、； 2、； 3、； 4、. 三、1、解 , 2分 . 4分 6分 . 7分 2、解 设,1分则曲面在点的法向量为 , 5分 所以,所求法线方程为 . 7分 3、解 原式 3分 5分 . 7分 4、解 由及中消去得,因而在面上的投影区域为 . 2分 原式 4分 6分 . 7分 5、解 收敛半径. 1分 当时,原级数为,收敛; 当时,原级数为,发散. 所以,原级数的收敛域为. 3分 设, .则 当时, . 6分 当时, . 7分 . 6、解 3分 . 5分 绽开域为 即 . 7分 7、解 的方向向量， （1分） 的方向向量可取 ， （3分） 所求平面的法向量可取，（5分） 故的方程为或（6分） 7分 四、1、解 曲面位于第一挂限部分上任一点处的切平面方程为,2分则它在三个坐标轴上的截距分别为,,.3分所以设 . 5分 由 7分 解得,.因为驻点惟一,所以即为所求的点 8分 2、解 密度函数为,1分则球体的质量为 2分 5分 7分 . 8分 五、证 , . 2分 由极限的性质知,,当时,有,而 , 4分 故由比较判别法知,收敛. 5分