同济大学大一高等数学期末试题精确复习资料
课程名称高等数学 试卷类别A卷 考试形式闭卷 考试时间120 分钟 适用层次 适用专业; 阅卷须知阅卷用红色墨水笔书写,小题得分写在每小题题号前,用正分表示,不得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内;考试课程应集体阅卷,流水作业。 课程名称高等数学A(考试性质期末统考(A卷) 题 号(型) 一 二 三 四 核分人 得 分 总分 评卷人 一、单选题(共15分,每小题3分) 1.设函数在的两个偏导, 都存在,则 A.在连续 B.在可微 C. 与 都存在 D.存在 2.若,则等于( ). 3.设是圆柱面与平面所围成的区域,则 ). 4. 4.若在处收敛,则此级数在处( ). A. 条件收敛 B. 肯定收敛 C. 发散 D. 敛散性不能确定 5.曲线在点(1,1,2)处的一个切线方向向量为( ). A. (-1,3,4) B.(3,-1,4) C. (-1,0,3) D. (3,0,-1) 二、填空题(共15分,每小题3分) 1.设,则 . 2.交 换的积分次序后,_____________________. 3.设,则在点处的梯度为 . 4. 已知,则 . 5. 函数的微小值点是 . 三、解答题(共54分,每小题6--7分) 1.(本小题满分6分)设, 求,. 2.(本小题满分6分)求椭球面的平行于平面的切平面方程,并求切点处的法线方程. 3. (本小题满分7分)求函数在点处沿向量方向的方向导数。 4. (本小题满分7分)将绽开成的幂级数,并求收敛域。 5.(本小题满分7分)求由方程所确定的隐函数的极值。 6.(本小题满分7分)计算二重积分与围成. 7.(本小题满分7分)利用格林公式计算,其中是圆周(按逆时针方向). 8.(本小题满分7分)计算,其中是由柱面与平面所围成且在第一卦限内的区域. 四、综合题(共16分,每小题8分) 1.(本小题满分8分)设级数都收敛,证明级数收敛。 2.(本小题满分8分)设函数在内具有一阶连续偏导数,且, 证明曲线积分与路径无关.若对随意的恒有,求的表达式. 参考答案与评分标准 一、单选题(共15分,每小题3分)1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题(共15分,每小题3分) 1.-1 2. 3. 4 5. 2,2 三、解答题(共54分,每小题6--7分) 1.解; 3分 6分. 2. 解记切点 则切平面的法向量为满意 ,切点为或 3分,切平面 4分, 法线方程分别为或者 6分 3. 解 3分, 7分 4. 解, 2分 因为 ,,所以,其中 ,即. 5分 当时,级数为发散;当时,级数为发散,故,, 7分 5. 解由, 得到与, 2分 再代入,得到即。 由此可知隐函数的驻点为与。 4分 由,,,可知在驻点与有。 5分 在点,,因此 ,所以为微小值点,微小值为; 6分 在点,,因此 ,所以为极大值点,极大值为, 7分 6. 解记,则.(2分) 故 4分 (7分) 7. 解所围区域,由格林公式,可得 .7分 OOOOO装O订O线OOOO O x y z 1 1 8. 解如图,选取柱面坐标系计算便利,此时,所以 4分 . 7分 四、综合题(共16分,每小题8分) 1.证明因为,(2分) 故存在N,当时,,因此收敛。(8分) 2.证明因为,且,故曲线积分与路径无关.(4分) 因此设,从而 ,(5分) ,(6分) 由此得对随意成立,于是,即 .(8分)