同济大学大一高等数学期末试题精确复习资料[1]

课程名称高等数学 试卷类别A卷 考试形式闭卷 考试时间120 分钟 适用层次 适用专业； 阅卷须知阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称高等数学A（考试性质期末统考（A卷） 题 号（型） 一 二 三 四 核分人 得 分 总分 评卷人 一、单选题（共15分，每小题3分） 1．设函数在的两个偏导， 都存在，则 A．在连续 B．在可微 C． 与 都存在 D．存在 2．若，则等于（ ）． 3．设是圆柱面与平面所围成的区域，则 ）． 4． 4．若在处收敛，则此级数在处（ ）． A． 条件收敛 B． 肯定收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定 5．曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 1．设，则 . 2．交 换的积分次序后，_____________________． 3．设，则在点处的梯度为 . 4. 已知，则 . 5. 函数的微小值点是 . 三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1.（本小题满分6分）设, 求,. 2.（本小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程. 3. （本小题满分7分）求函数在点处沿向量方向的方向导数。 4. （本小题满分7分）将绽开成的幂级数，并求收敛域。 5．（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值。 6．（本小题满分7分）计算二重积分与围成. 7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）. 8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面与平面所围成且在第一卦限内的区域. 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。 2．（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且， 证明曲线积分与路径无关．若对随意的恒有，求的表达式． 参考答案与评分标准 一、单选题（共15分，每小题3分）1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题（共15分，每小题3分） 1.-1 2. 3. 4 5. 2,2 三、解答题（共54分，每小题6--7分） 1．解; 3分 6分. 2. 解记切点 则切平面的法向量为满意 ，切点为或 3分，切平面 4分， 法线方程分别为或者 6分 3. 解 3分, 7分 4. 解, 2分 因为 ，,所以,其中 ，即. 5分 当时，级数为发散；当时，级数为发散,故，， 7分 5. 解由, 得到与, 2分 再代入，得到即。 由此可知隐函数的驻点为与。 4分 由，，，可知在驻点与有。 5分 在点，，因此 ，所以为微小值点，微小值为； 6分 在点，，因此 ，所以为极大值点，极大值为， 7分 6. 解记，则.（2分） 故 4分 （7分） 7. 解所围区域,由格林公式，可得 .7分 OOOOO装O订O线OOOO O x y z 1 1 8. 解如图，选取柱面坐标系计算便利,此时，所以 4分 . 7分 四、综合题（共16分，每小题8分） 1．证明因为，（2分） 故存在N，当时，，因此收敛。（8分） 2．证明因为，且，故曲线积分与路径无关．（4分） 因此设，从而 ，（5分） ，（6分） 由此得对随意成立，于是，即 ．（8分）