同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来探讨几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的学问就有着特别重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础学问，以向量为工具探讨空间的平面和直线，最终介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来探讨几何的问题，我们须要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点，作三条相互垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴横轴）、y轴纵轴、z轴竖轴，它们都以为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则右手握住轴，当右手的四指从x轴的正向转过角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为直角坐标系，点叫做坐标原点. 图8-1 在直角坐标系下，数轴Ox,,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为，，，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示. 图8-2 1.1.2 空间点的直角坐标 设为空间中的任一点，过点分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与轴、轴和轴依次交于、、三点，若这三点在轴、轴、轴上的坐标分别为，，，于是点就唯一确定了一个有序数组，则称该数组为点在空间直角坐标系中的坐标，如图8-3．，，分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标． 图8-3 反之，若随意给定一个有序数组，在轴、轴、轴上分别取坐标为，，的三个点、、，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平面，这三个平面只有一个交点，该点就是以有序数组为坐标的点，因此空间中的点就与有序数组之间建立了一一对应的关系． 注、、这三点正好是过点作三个坐标轴的垂线的垂足． 1.2 空间中两点之间的距离 设两点，，则与之间的距离为 （8-1-1） 事实上，过点和作垂直于平面的直线，分别交平面于点和，则 ∥，明显，点的坐标为，点的坐标为（如图8-4）． 图8-4 由平面解析几何的两点间距离公式知，和的距离为 ． 过点作平行于平面的平面，交直线于，则∥，因此的坐标为，且 ， 在直角三角形中， ， 所以点与间的距离为 ． 例1 设与为空间两点，求与两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，与两点间的距离为 ． 例2 在轴上求与点和等距的点． 解 由于所求的点在轴上，因而点的坐标可设为，又由于 ， 由公式（8-1-1），得 ． 从而解得，即所求的点为． 习题8-1 1．探讨空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点 ；；；． 4．求点关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离 1 与；2 与． 7．在坐标平面上求与三点、和等距的点． 8．求点与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离． 9. 证明以为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 第2节 空间向量的代数运算 2.1 空间向量的概念 在日常生活中，我们常常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们准确表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）． 在数学上，我们用有向线段来表示向量，称为向量的起点，称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母，，，来表示向量，手写时用带箭头的小写字母来记向量. 向量的长度称为向量的模，记作或，模为的向量叫做单位向量，模为的向量叫做零向量，记作0，规定零向量的方向可以是随意的． 本章我们探讨的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定全部的零向量都相等. 与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量或反向量，记作． 平行于同始终线的一组向量称为平行向量（或共线向量）． 平行于同一平面的一组向量，叫做共面对量，零向量与任何共面的向量组共面. 2.2 向量的线性运算 2.2.1 向量的加法 我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法． 定义1 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和（图8-5），记作．这种求和方法称为平行四边形法则． 图8-5 图8-6 若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和图8-6），该法则称为三角形法则． 多个向量，如、、、首尾相接，则从第一个向量的起点到最终一个向量的终点的向量就是它们的和 （图8-7）． 图8-7 对于随意向量，，，满意以下运算法则 1 交换律． 2 结合律． 3 ． 2.2.2 向量的减法 定义2 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即 ． 特殊地，当时，有. 由向量减法的定义，我们从同一起点作有向线段，分别表示，，则 ． 也就是说，若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量（图8-8）． 图8-8 2.2.3数乘向量 定义3 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向 当时，与同向；当时，与反向；当时，． 对于随意向量，以及随意实数，，有运算法则 1 ． 2 ．