同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学
第六篇 多元微积分学 第九章 多元函数微分学及其应用 我们以前学习的函数只有一个自变量,这种函数我们称为一元函数.一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题.但是,在实际问题中往往牵扯到多方面的因素,解决这类问题必需引进多元函数.本章将在一元函数微分学的基础上,探讨多元函数的微分及其应用.从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题,而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推.通过本章的学习,学生要驾驭多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的详细方法. 第1节 多元函数的基本概念 1.1 平面点集 为了介绍二元函数的概念,有必要介绍一些关于平面点集的学问,在一元函数微积分中,区间的概念是很重要的,大部分问题是在区间上探讨的.在平面上,与区间这一概念相对应的概念是邻域. 1.1.1 邻域 设是平面上的确定点,是某一正数,与点的距离小于的点的全体,称为点的邻域,记为,即 , 亦即 . 在几何上表示以为中心,为半径的圆的内部不含圆周. 上述邻域去掉中心后,称为的去心邻域,记作. . 假如不须要强调邻域的半径,则用表示点的邻域,用表示的去心邻域. 1.1.2 区域 下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系. 设是平面上的一个点集,是平面上的一点,则与的关系有以下三种情形 1 内点假如存在的某个邻域,使得,则称点为的内点. 2 外点假如存在的某个邻域,使得,则称为的外点. 3 边界点假如在点的任何邻域内,既有属于的点,也有不属于的点,则称点为的边界点.的边界点的集合称为的边界,记作. 例如点集,除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点,圆外部的点都是的外点,圆心及圆周上的点为的边界点;又如平面点集,直线上方的点都是的内点,直线下方的点都是的外点,直线上的点都是的边界点图91. 图91 明显,点集E的内点确定属于E;点集E的外点确定不属于E;E的边界点可能属于E,也可能不属于E. 假如点集E的每一点都是E的内点,则称E为开集,点集是开集,不是开集. 设E是开集,假如对于E中的任何两点,都可用完全含于E的折线连接起来,则称开集E是连通集图92 .点集E1和E2都是连通的,点集不是连通的图92. 图92 连通的开集称为开区域开域. 从几何上看,开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集.如E1是开区域.开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广. 开区域E连同它的边界构成的点集,称为闭区域闭域,记作 即. 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广.如E2及都是闭域,而既非闭域,又非开域.闭域是连成一片的且包含边界的平面点集. 本书把开区域与闭区域统称为区域. 假如区域E可包含在以原点为中心的某个圆内,即存在正数,使,则称E为有界区域,否则,称E为无界区域.例如E1是有界区域,E2是无界区域. 记E是平面上的一个点集,P是平面上的一个点.假如点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E,则称P为E的聚点.明显,E的内点确定是E的聚点,此外,E的边界点也可能是E的聚点.例如,设,则点既是的边界点又是的聚点,但的这个聚点不属于;又如,圆周上的每个点既是的边界点,也是的聚点,而这些聚点都属于.由此可见,点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E.再如点,原点是它的聚点,中的每一个点都不是聚点. 1.1.3 n维空间Rn 一般地,由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间,记作Rn.即 . n元有序数组称为n维空间中的一个点,数xi称为该点的第i个坐标. 类似地规定,n维空间中随意两点与之间的距离为 . 前面关于平面点集的一系列概念,均可推广到n维空间中去,例如,,δ是某一正数,则点的δ邻域为 . 以邻域为基础,还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念. 1.2 多元函数的概念 1.2.1 n元函数的定义 定义1 设D是中的一个非空点集,假如存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点,都能由f 唯一地确定一个实数y,则称f为定义在D上的n元函数,记为 . 其中叫做自变量,y叫做因变量,点集D叫做函数的定义域,常记作. 取定,对应的叫做所对应的函数值.全体函数值的集合叫做函数f的值域,常记为[或],即 . 当n1时,D为实数轴上的一个点集,可得一元函数的定义,即一元函数一般记作;当n2时,D为平面上的一个点集,可得二元函数的定义,即二元函数一般记作,若记,则也记作. 二元及二元以上的函数统称为多元函数.多元函数的概念与一元函数一样,包含对应法则和定义域这两个要素. 多元函数的定义域的求法,与一元函数类似.若函数的自变量具有某种实际意义,则依据它的实际意义来确定其取值范围,从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数,使表达式有意义的自变量的取值范围,就是函数的定义域. 例1 在生产中,设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为 (其中均为正常数. 这是以K,L为自变量的二元函数,在西方经济学中称为生产函数.该函数的定义域为. 例2 求函数的定义域D,并画出D的图形. 解 要使函数的解析式有意义,必需满意 即,如图93划斜线的部分. 图93 图94 1.2.2. 二元函数的几何表示 设函数的定义域为平面区域D,对于D中的随意一点,对应一确定的函数值.这样便得到一个三元有序数组,相应地在空间可得到一点.当点P在D内变动时,相应的点M就在空间中变动,当点P取遍整个定义域D时,点M就在空间描绘出一张曲面S 图94.其中 . 而函数的定义域D就是曲面S在xO y面上的投影区域. 例如表示一平面;表示球心在原点,半径为1的上半球面. 1.3二元函数的极限 二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广.二元函数的极限可表述为 定义1 设二元函数的定义域是某平面区域D,P0为D的一个聚点,当D中的点P以任何方式无限趋于P0时,函数值fP无限趋于某一常数A,则称A是函数当P趋于P0时的二重极限.记为 或, 此时也称当时的极限存在, 否则称的极限不存在.若点的坐标为,点的坐标为,则上式又可写为 或 f x, y→A(x→x0,y→y0). 类似于一元函数,无限趋于A可用来刻画,点无限趋于可用刻画,因此,二元函数的极限也可如下定义. 定义2 设二元函数的定义域为D,是D的一个聚点,A为常数.若对任给的正数,不论多小,总存在,当,且时,总有 则称A为当时的二重极限. 注 ①定义中要求是定义域D的聚点,是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点. ②留意到平面上的点趋近于的方式可以多种多样可以从四面八方趋于,也可以沿曲线或点列趋于.定义1指出只有当以任何方式趋近于,相应的都趋近于同一常数A时,才称A为当时的极限.假如以某些特殊方式如沿某几