同济大学(高等数学)_第六篇_多元微积分学

第六篇 多元微积分学 第九章 多元函数微分学及其应用 我们以前学习的函数只有一个自变量，这种函数我们称为一元函数．一元函数的微积分解决了很多初等数学无法解决的问题．但是，在实际问题中往往牵扯到多方面的因素，解决这类问题必需引进多元函数．本章将在一元函数微分学的基础上，探讨多元函数的微分及其应用．从一元函数的情形推广到二元函数时会产生一些新的问题，而从二元函数推广到二元以上的多元函数则可以类推．通过本章的学习，学生要驾驭多元函数微分学的基本原理以及解决几何、经济与管理、工程等领域的实际问题的详细方法. 第1节 多元函数的基本概念 1.1 平面点集 为了介绍二元函数的概念，有必要介绍一些关于平面点集的学问，在一元函数微积分中，区间的概念是很重要的，大部分问题是在区间上探讨的．在平面上，与区间这一概念相对应的概念是邻域． 1.1.1 邻域 设是平面上的确定点，是某一正数，与点的距离小于的点的全体，称为点的邻域，记为，即 , 亦即 ． 在几何上表示以为中心，为半径的圆的内部不含圆周． 上述邻域去掉中心后，称为的去心邻域，记作． . 假如不须要强调邻域的半径，则用表示点的邻域，用表示的去心邻域． 1.1.2 区域 下面用邻域来描述平面上的点与点集之间的关系． 设是平面上的一个点集，是平面上的一点，则与的关系有以下三种情形 1 内点假如存在的某个邻域，使得，则称点为的内点． 2 外点假如存在的某个邻域，使得，则称为的外点． 3 边界点假如在点的任何邻域内，既有属于的点，也有不属于的点，则称点为的边界点．的边界点的集合称为的边界，记作． 例如点集，除圆心与圆周上各点之外圆的内部的点都是的内点，圆外部的点都是的外点，圆心及圆周上的点为的边界点；又如平面点集，直线上方的点都是的内点，直线下方的点都是的外点，直线上的点都是的边界点图91． 图91 明显，点集E的内点确定属于E；点集E的外点确定不属于E；E的边界点可能属于E，也可能不属于E． 假如点集E的每一点都是E的内点，则称E为开集，点集是开集，不是开集． 设E是开集，假如对于E中的任何两点，都可用完全含于E的折线连接起来，则称开集E是连通集图92 ．点集E1和E2都是连通的，点集不是连通的图92． 图92 连通的开集称为开区域开域． 从几何上看，开区域是连成一片的且不包括边界的平面点集．如E1是开区域．开区域是数轴上的开区间这一概念在平面上的推广． 开区域E连同它的边界构成的点集，称为闭区域闭域，记作 即． 闭区域是数轴上的闭区间这一概念在平面上的推广．如E2及都是闭域，而既非闭域，又非开域．闭域是连成一片的且包含边界的平面点集． 本书把开区域与闭区域统称为区域． 假如区域E可包含在以原点为中心的某个圆内，即存在正数，使，则称E为有界区域，否则，称E为无界区域．例如E1是有界区域，E2是无界区域． 记E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点．假如点P的任一邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点．明显，E的内点确定是E的聚点，此外，E的边界点也可能是E的聚点．例如，设，那么点既是的边界点又是的聚点，但的这个聚点不属于；又如，圆周上的每个点既是的边界点，也是的聚点，而这些聚点都属于．由此可见，点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．再如点，原点是它的聚点，中的每一个点都不是聚点． 1.1.3 n维空间Rn 一般地，由n元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作Rn．即 ． n元有序数组称为n维空间中的一个点，数xi称为该点的第i个坐标． 类似地规定，n维空间中随意两点与之间的距离为 ． 前面关于平面点集的一系列概念，均可推广到n维空间中去，例如，，δ是某一正数，则点的δ邻域为 ． 以邻域为基础，还可以定义n维空间中内点、边界点、区域等一系列概念． 1.2 多元函数的概念 1.2.1 n元函数的定义 定义1 设D是中的一个非空点集，假如存在一个对应法则f , 使得对于D中的每一个点，都能由f 唯一地确定一个实数y，则称f为定义在D上的n元函数，记为 ． 其中叫做自变量，y叫做因变量，点集D叫做函数的定义域，常记作． 取定，对应的叫做所对应的函数值．全体函数值的集合叫做函数f的值域，常记为［或］，即 ． 当n1时，D为实数轴上的一个点集，可得一元函数的定义，即一元函数一般记作；当n2时，D为平面上的一个点集，可得二元函数的定义，即二元函数一般记作，若记，则也记作． 二元及二元以上的函数统称为多元函数．多元函数的概念与一元函数一样，包含对应法则和定义域这两个要素． 多元函数的定义域的求法，与一元函数类似．若函数的自变量具有某种实际意义，则依据它的实际意义来确定其取值范围，从而确定函数的定义域. 对一般的用解析式表示的函数，使表达式有意义的自变量的取值范围，就是函数的定义域． 例1 在生产中，设产量Y与投入资金K和劳动力L之间的关系为 （其中均为正常数． 这是以K，L为自变量的二元函数，在西方经济学中称为生产函数．该函数的定义域为． 例2 求函数的定义域D，并画出D的图形． 解 要使函数的解析式有意义，必需满意 即,如图93划斜线的部分． 图93 图94 1.2.2. 二元函数的几何表示 设函数的定义域为平面区域D，对于D中的随意一点，对应一确定的函数值．这样便得到一个三元有序数组，相应地在空间可得到一点．当点P在D内变动时，相应的点M就在空间中变动，当点P取遍整个定义域D时，点M就在空间描绘出一张曲面S 图94．其中 ． 而函数的定义域D就是曲面S在xO y面上的投影区域． 例如表示一平面；表示球心在原点，半径为1的上半球面． 1.3二元函数的极限 二元函数的极限概念是一元函数极限概念的推广．二元函数的极限可表述为 定义1 设二元函数的定义域是某平面区域D，P0为D的一个聚点，当D中的点P以任何方式无限趋于Ｐ0时，函数值fP无限趋于某一常数A，则称A是函数当P趋于P0时的二重极限．记为 或， 此时也称当时的极限存在， 否则称的极限不存在．若点的坐标为，点的坐标为，则上式又可写为 或 f x, y→A（x→x０，y→y０）． 类似于一元函数，无限趋于A可用来刻画，点无限趋于可用刻画，因此，二元函数的极限也可如下定义． 定义2 设二元函数的定义域为D，是D的一个聚点，A为常数．若对任给的正数，不论多小，总存在，当，且时，总有 则称A为当时的二重极限． 注 ①定义中要求是定义域D的聚点，是为了保证在P0的任何邻域内都有D中的点． ②留意到平面上的点趋近于的方式可以多种多样可以从四面八方趋于，也可以沿曲线或点列趋于．定义1指出只有当以任何方式趋近于，相应的都趋近于同一常数A时，才称A为当时的极限．假如以某些特殊方式如沿某