同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

第四篇 无穷级数 第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是探讨函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先探讨常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后探讨函数项级数，着重探讨如何为将函数绽开成幂级数和三角级数的问题，最终介绍工程中常用的傅里叶级数. 第1节 常数项级数的概念与性质 1.1常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数, 简称（常数项）级数, 记为, 即 , 其中第项叫做级数的一般项. 作级数的前项和 称为级数的部分和. 当n依次取1,2,3时，它们构成一个新的数列 ，，，， ， 依据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 假如级数的部分和数列有极限, 即, 则称无穷级数收敛, 这时极限叫做这级数的和, 并写成 ; 假如没有极限, 则称无穷级数发散. 当级数收敛时, 其部分和是级数的和的近似值, 它们之间的差值 叫做级数的余项. 例1 探讨等比级数（几何级数）a0的敛散性. 解 假如, 则部分和 . 当时, 因为, 所以此时级数收敛, 其和为. 当时, 因为, 所以此时级数发散. 假如, 则当时, , 因此级数发散; 当时, 级数成为 , 因为随着为奇数或偶数而等于或零, 所以的极限不存在, 从而这时级数 发散. 综上所述, 假如, 则级数收敛, 其和为; 假如, 则级数发散. 例2 判别无穷级数的收敛性. 解 由于 , 因此 , 而 ，故该级数发散. 例3 判别无穷级数的收敛性. 解 因为 , 所以 , 从而 , 所以这级数收敛, 它的和是1. 1.2 收敛级数的基本性质 依据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质. 性质1假如级数收敛于和, 则它的各项同乘以一个常数所得的级数也收敛, 且其和为. 证明 设与的部分和分别为与, 则 , 这表明级数收敛, 且和为. 性质2 假如级数、分别收敛于和、, 则级数也收敛, 且其和为. 证明 假如、、的部分和分别为、、， 则 . 性质3 在级数中去掉、加上或变更有限项, 不会变更级数的收敛性. 比如, 级数是收敛的; 级数也是收敛的; 级数也是收敛的. 性质4 假如级数收敛, 则对这级数的项随意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变. 应留意的问题 假如加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数（1-1（1-1 收敛于零, 但级数1-11-1 却是发散的. 推论 假如加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散. 性质5 假如收敛, 则它的一般项趋于零, 即. 证明 设级数的部分和为, 且, 则 . 注 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例6 证明调和级数 是发散的. 证明 假如级数收敛且其和为, 是它的部分和. 明显有及. 于是. 但另一方面, , 故, 冲突. 这冲突说明级数必定发散. 习题7-1 1. 写出下列级数的前四项 （1） ； （2）. 2. 写出下列级数的一般项（通项） （1） ； （2）； （3）. 3. 依据级数收敛性的定义，推断下列级数的敛散性 （1） ; （2）. 4. 推断下列级数的敛散性 （1） ; （2）; （3） （4）. 第2节 常数项级数的收敛法则 2.1 正项级数及其收敛法则 现在我们探讨各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数. 设级数 （7-2-1） 是一个正项级数，它的部分和为.明显，数列是一个单调增加数列，即 假如数列有界，即总不大于某一常数，依据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和，且. 反之，假如正项级数（7-2-1）收敛于和.依据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列有界. 因此，有如下重要结论 定理 1 正项级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列{}有界. 定理2 比较审敛法 设和都是正项级数, 且 . 若级数收敛, 则级数收敛; 反之, 若级数发散, 则级数发散. 证明 设级数收敛于和, 则级数的部分和 即部分和数列有界, 由定理1知级数收敛. 反之, 设级数发散, 则级数必发散. 因为若级数收敛, 由上已证明的结论, 将有级数也收敛, 与假设冲突. 推论 设和都是正项级数, 假如级数收敛, 且存在自然数N, 使当时有成立, 则级数收敛; 假如级数发散, 且当时有成立, 则级数发散. 例1 探讨p-级数 的收敛性, 其中常数. 解 设. 这时, 而调和级数发散, 由比较审敛法知, 当时级数发散. 设. 此时有 . 对于级数, 其部分和 . 因为. 所以级数收敛. 从而依据比较审敛法的推论1可知, 级数当时收敛. 综上所述, p-级数当时收敛, 当时发散. 例2 证明级数是发散的. 证明 因为, 而级数是发散的, 依据比较审敛法可知所给级数也是发散的. 定理3 （比较审敛法的极限形式 设和都是正项级数, 假如, 则级数和级数同时收敛或同时发散. 证明 由极限的定义可知, 对, 存在自然数N, 当时, 有不等式 , 即. 再依据比较审敛法的推论1, 即得所要证的结论. 例3 判别级数的收敛性. 解 因为, 而级数发散, 依据比较审敛法的极限形式, 级数发散. 用比较审敛法审敛时，须要适当地选取一个已知其收敛性的级数作为比较的基准.最常选用做基准级数的是等比级数和p-级数. 定理4 比值审敛法, 达朗贝尔判别法 若正项级数的后项与前项之比值的极限等于，即 , 则当时级数收敛;当 或时级数发散; 当时级数可能收敛也可能发散. 例4 判别级数收敛性. 解 因为 , 依据比值审敛法可知，所给级数收敛. 例5 判别级数的收敛性. 解 因为 , 依据比值审敛法可知,所给级数发散. 定理5 根值审敛法, 柯西判别法 设是正项级数, 假如它的一般项的n次根的极限等于，即 , 则当时级数收敛; 当 或时级数发散; 当时级数可能收敛