同济大学(高等数学)_第四章_不定积分

第四章 不定积分 前面探讨了一元函数微分学，从本章起先我们将探讨高等数学中的其次个核心内容一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以与基本的积分方法． 第1节 不定积分的概念与性质 1.1 不定积分的概念 在微分学中，我们探讨了求一个已知函数的导数（或微分）的问题，例如，变速直线运动中已知位移函数为 ， 则质点在时刻的瞬时速度表示为 ． 事实上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度 ， 求出质点的位移函数 ． 即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于探讨，我们引入以下概念． 1.1.1原函数 定义1 假如在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有 或 ， 那么函数就称为在区间I上的原函数． 例如，在变速直线运动中，，所以位移函数是速度函数的原函数； 再如，，所以是在上的一个原函数．所以是在的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就肯定存在原函数呢这里我们给出一个充分条件． 定理1 假如函数在区间上连续，那么在区间上肯定存在可导函数，使对任一都有 ． 简言之，连续函数肯定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数，所以初等函数在其定义区间上都有原函数． 定理1的证明，将在后面章节给出. 关于原函数，不难得到下面的结论 若，则对于随意常数，都是的原函数．也就是说，一个函数假如存在原函数，则有无穷多个． 假设和都是的原函数，则，必有,即一个函数的随意两个原函数之间相差一个常数． 因此我们有如下的定理 定理2 若和都是的原函数，则（为随意常数）． 若，则（为随意常数）表示的全部原函数．我们称集合为的原函数族．由此，我们引入下面的定义． 1.1.2不定积分 定义2 在区间上，函数的全部原函数的全体，称为在上的不定积分， 记作 ． 其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量． 由此定义，若是的在区间上的一个原函数，则的不定积分可表示为 ． 注 （1）不定积分和原函数是两个不同的概念，前者是个集合，后者是该集合中的一个元素． （2）求不定积分，只需求出它的某一个原函数作为其无限个原函数的代表，再加上一个随意常数． 例1 求． 解 因为所以． 例2 求． 解 （1）因为所以． （2）因为所以． （3）因为所以 ． 例3 求． 解 由于时，，所以是在上的一个原函数，因此在内，． 又当时，，所以是在上的一个原函数，因此在内，． 综上，． 例4 在自由落体运动中，已知物体下落的时间为，求时刻的下落速度和下落距离． 解 设时刻的下落速度为，则加速度（其中为重力加速度）． 因此 ， 又当时，，所以．于是下落速度． 又设下落距离为，则．所以 ， 又当时，，所以．于是下落距离． 1.1.3不定积分的几何意义 设函数是连续的，若，则称曲线是函数的一条积分曲线．因此不定积分在几何上表示被积函数的一族积分曲线． 积分曲线族具有如下特点（如图4.1） （1）积分曲线族中随意一条曲线都可由其中某一条平移得到； （2）积分曲线上在横坐标相同的点处的切线的斜率是相同的，即在这些点处对应的切线都是平行的． 图4-1 例5 设曲线通过点，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程． 解 设曲线方程，曲线上任一点处切线的斜率，即是的一个原函数．因为，又曲线过，所以 ，． 于是曲线方程为 ． 1.2 基本积分公式 由定义可知，求原函数或不定积分与求导数或求微分互为逆运算， 我们把求不定积分的运算称为积分运算．既然积分运算与微分运算是互逆的，那么很自然地从导数公式可以得到相应的积分公式． 例如，因，所以（）． 类似可以得到其他积分公式，下面一些积分公式称为基本积分公式． ①（k是常数）; ②（）; ③; ④; ⑤; ⑥; ⑦; ⑧; ⑨; ⑩，; ⑪，; ⑫; ⑬; 以上13个基本积分公式，是求不定积分的基础，必需牢记．下面举例说明积分公式②的应用． 例6 求不定积分． 解 ． 以上例子中的被积函数化成了幂函数的形式，然后干脆应用幂函数的积分公式②求出不定积分．但对于某些形式困难的被积函数，假如不能干脆利用基本积分公式求解，则可以结合不定积分的性质和基本积分公式求出一些较为困难的不定积分． 1.3 不定积分的性质 依据不定积分的定义，可以推得它有如下两特性质． 性质1 积分运算与微分运算互为逆运算 （1）或． （2）或 性质2 设函数和的原函数存在，则 ． 易得性质2对于有限个函数的都是成立的． 性质3 设函数的原函数存在，为非零的常数，则 ． 由以上两条性质，得出不定积分的线性运算性质如下 ． 例7 求． 解 ． 例8 求． 解 原式． 例9 求． 解 原式． 例10 求． 解 ． 例11 求． 解 ． 注 本节例题中的被积函数在积分过程中，要么干脆利用积分性质和基本积分公式，要么将函数恒等变形再利用积分性质和基本积分公式，这种方法称为基本积分法．此外，积分运算的结果是否正确，可以通过它的逆运算（求导）来检验，假如它的导函数等于被积函数，那么积分结果是正确的，否则是错误的． 下面再看一个抽象函数的例子 例12 设，求 解 由，可得， 从而． 习题4-1 1．求下列不定积分． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）； （11）； （12）； （13）； （14）； （15）； （16）； （17）； （18）． 2．已知某产品产量的变更率是时间的函数，（，为常数）．设此产品的产量函数为，且，求． 3．验证． 4．设，求 第2节 换元积分法和不定积分法 2.1 换元积分法 上一节介绍了利用基本积分公式与积分性质的干脆积分法，这种方法所能计算的不定积分是特别有限的．因此，有必要进一步探讨不定积分的求法．这一节，我们将介绍不定积分的最基本也是最重要的方法换元积分法，简称换元法．其基本思想是利用变量替换，使得被积表达式变形为基本积分公式中的形式，从而计算不定积分． 换元法通常分为两类，下面首先探讨第一类换元积分法． 2.1.1第一类换元积分法 定理1 设具有原函数，可导，则有换元公式 ． （4.