同济大学(高等数学)-第十章-重积分

第十章 重积分 一元函数积分学中，我们曾经用和式的极限来定义一元函数在区间上的定积分，并已经建立了定积分理论，本章将把这一方法推广到多元函数的情形，便得到重积分的概念. 本章主要讲解并描述多重积分的概念、性质、计算方法以及应用. 第1节 二重积分的概念与性质 1.1 二重积分的概念 下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义. 1.1.1. 曲顶柱体的体积 曲顶柱体是指这样的立体，它的底是平面上的一个有界闭区域，其侧面是以的边界为准线的母线平行于轴的柱面，其顶部是在区域上的连续函数，且所表示的曲面（图101）. 图101 现在探讨如何求曲顶柱体的体积. 分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决（图102）. 图102 1分割闭区域为个小闭区域 同时也用表示第个小闭区域的面积，用表示区域的直径（一个闭区域的直径是指闭区域上随意两点间距离的最大值），相应地此曲顶柱体被分为个小曲顶柱体. 2在每个小闭区域上任取一点 对第个小曲顶柱体的体积，用高为而底为的平顶柱体的体积来近似代替. 3这个平顶柱体的体积之和 就是曲顶柱体体积的近似值. 4用表示个小闭区域的直径的最大值，即.当 可理解为收缩为一点时，上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积 1.1.2 平面薄片的质量 设薄片在平面占有平面闭区域，它在点处的面密度是.设且在上连续，求薄片的质量见图10-3. 图10-3 先分割闭区域D为个小闭区域 在每个小闭区域上任取一点 近似地，以点处的面密度代替小闭区域上各点处的面密度，则得到第i块小薄片的质量的近似值为，于是整个薄片质量的近似值是 用表示个小闭区域的直径的最大值，当无限细分，即当时，上述和式的极限就是薄片的质量，即 . 以上两个详细问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限.抽象出来就得到下述二重积分的定义. 定义1 设是平面上的有界闭区域，二元函数在上有界.将分为个小区域 同时用表示该小区域的面积，记的直径为，并令. 在上任取一点，作乘积 并作和式 . 若时，的极限存在它不依靠于的分法及点的取法，则称这个极限值为函数在上的二重积分，记作，即 ， 10-1-1 其中叫做积分区域，叫做被积函数，叫做面积元素，叫做被积表达式，与叫做积分变量，叫做积分和. 在直角坐标系中，我们常用平行于轴和轴的直线常数和常数把区域分割成小矩形，它的边长是和，从而，因此在直角坐标系中的面积元素可写成，二重积分也可记作 . 有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数在区域上的二重积分 ； 薄片的质量是面密度在区域上的二重积分 . 因为总可以把被积函数看作空间的一曲面，所以当为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当为负时，柱体就在平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值. 假如在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是负的，那么在上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和. 假如在区域上的二重积分存在即和式的极限10-1-1存在，则称在上可积.什么样的函数是可积的呢与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明. 假如是闭区域上连续，或分块连续的函数，则在上可积. 我们总假定在闭区域上连续，所以在上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明. 1.1.3 二重积分的性质 设二元函数在闭区域上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质.下面列举这些性质. 性质1 常数因子可提到积分号外面.设是常数，则 . 性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即 . 性质3 设闭区域被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则上的二重积分等于各部分闭区域上的二重积分的和. 例如分为区域和见图10-4，则 . 10-1-2 图10-4 性质3表示二重积分对积分区域具有可加性. 性质4 设在闭区域上，为的面积，则 . 从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积. 性质5 设在闭区域上有，则 . 由于 又有 . 这就是说，函数二重积分的肯定值必小于或等于该函数肯定值的二重积分. 性质6 设分别为在闭区域上的最大值和最小值，为的面积，则有 . 上述不等式是二重积分估值的不等式.因为，所以由性质5有 ， 即 . 性质7 设函数在闭区域上连续，是的面积，则在上至少存在一点使得 . 这一性质称为二重积分的中值定理. 证 明显. 因在有界闭区域上连续，依据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在上必存在一点使等于最大值，又存在一点使等于最小值，则对于上全部点，有 由性质1和性质5，可得 ． 再由性质4得 ， 或 ． 依据闭区域上连续函数的介值定理知，上必存在一点，使得 ， 即 ， . 证毕. 二重积分中值定理的几何意义可叙述如下 当为空间一连续曲面时，对以为顶的曲顶柱体，必定存在一个以为底，以内某点的函数值为高的平顶柱体，它的体积就等于这个曲顶柱体的体积. 习题101 1.依据二重积分性质，比较与的大小，其中 1表示以、、为顶点的三角形； 2表示矩形区域. 2.依据二重积分的几何意义，确定下列积分的值 1，； 2，. 3.设为连续函数，求, . 4.依据二重积分性质，估计下列积分的值 1，； 2，； 3, . 5.设，证明函数 在上不行积. 第2节 二重积分的计算 只有少数二重积分被积函数和积分区域特殊简洁可用定义计算外，一般状况下要用定义计算二重积分相当困难．下面我们从二重积分的几何意义动身，来介绍计算二重积分的方法，该方法将二重积分的计算问题化为两次定积分的计算问题． 2.1 直角坐标系下的计算 在几何上，当被积函数时，二重积分的值等于以为底，以曲面为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积. 设积分区域由两条平行直线及两条连续曲线见图105所围成，其中，则D可表示为 . 图105 用平行于坐标面的平面去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间为底，以为曲