[数学论文]数学证明的意义与方法

［数学论文］数学证明的意义与方法 摘要数学证明是数学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发现作用 和思维训练作用，数学证明常用的方法有综合法与分析法，直接法与间接法，数学归纳法等等, 随着数学的发展，还出现了计算机证明。 关键词数学证明；意义；方法 数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不同的意义与方法。 1数学证明的意义 1.1什么是数学证明 数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非常广泛，是学习现代科学技术必 不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，这是由数学证明在数学发展中所起的作用 决定的。什么是数学证明呢许多人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正 确的一种活动。比如证明三角形内角和是180,就是通过相应的公理和法则来证明的。我认 为这个观点并不完整，它只是说出了数学证明的表面，我认为它是通过演绎推理的方式来证出 的。也就是说，数学证明是根据相应的原理，法则，公式等，通过数学上的演绎推理来说明结 论是正确的一种活动。 因为数学是一门演绎的科学，由于数学的本质及其组织以及构造方式的特点，决定了数学证明 只能是一种演绎证明。由演绎证明的特点，又决定了数学证明具有很重要的意义。 1.2数学证明的意义 数学证明在数学学习过程中非常重要，在于数学证明的意义和作用，数学证明有下面四个主要 的意义和作用 1.2.1核实作用一通过数学证明，可以核实一个命题的真假。 数学命题有真有假，在许多场合中，命题的真实性不是显然的，这时，要判断真假就需要借助 于一些方法观察，实验，数学证明等等。比如“两点之间线段最短”我们可以通过观察来看 出它是真命题，通过实验的方法我们可以发现“三角形的内角和是18。”这也是真命题。但 是，这些方法并不严谨，因而没有说服力。而且，有许多命题通过观察和实验是无法论证的， 比如“、阪是无理数”通过观察和实验就无法判断其真假。而数学证明通过引用一些真命题和 特定的题设条件，经过严格的逻辑推理方法进行的，具有无可辩驳的说服力，可以核实一个命 题的真假。 1.2.2理解作用一数学证明有助于增进理解。 数学证明有助于增进理解包括增进对所证命题的理解以及在证明该命题过程中所用到的相关 的数学知识的理解。同时，通过数学证明还可以使人们寻找新旧知识之间的联系，使人们获得 的知识系统化。 证明一个命题的真假时，需要灵活的运用相应的公理，定理以及其它的条件。因而，通过数学 证明，在核实某个命题真假的同时，也增加了对证明过程中所涉及到的知识的理解。在证明某 个命题的时候要用到另外的命题，那么，这些命题之间的一定有内在的联系，寻找它们之间联 系的桥梁就是数学证明。同时，通过不断的数学证明，寻找到新旧知识之间的联系，使人们所 学的知识有机的结合起来，从而趋于系统化。比如在证明梯形的中位线定理的时候，我们用到 了三角形全等的判定定理（或推论），两直线平行内错角相等的定理以及三角形中位线定理等 等。通过灵活的运用，可以加深对这些知识的理解。而且，在证明了梯形的中位线定理以后， 我们可以发现梯形的中位线定理和三角形的中位线定理有许多的相似之处，都存在平行和一 半的关系。这样，就可以将这两个知识联系起来，使自己的知识趋于系统化。 1.2.3发现作用数学证明有助于人们获得新的体验，发现新的结论，新的知识。 在数学史上，有许多发现就是从数学证明开始的。瑞士数学家欧拉在解决“哥尼斯堡七桥问题” 的时候发现这个几何问题无法用以前的几何学的方法解决，因为按照人们所熟知的几何理论， 都是与长短、大小这些量有关，而七桥问题与量无关。欧拉通过研究证明了这是个不可能问题， 并且提出了一个新的几何学分支一拓扑学。由此可见数学证明的对于人们发现新的东西是有 很大的帮助的。 再比如，非欧几何的发现就是源于对欧氏几何第五公设的证明。人们觉得第五公设“若两条直 线与第三条直线相交，而且在同一侧所构成的两个同旁内角之和小于两个直角，则该两直线沿 这一侧延长后必定相交。”比其它四条公设累赘多了，因而尝试从别的公理把它推出来。但是， 所有的努力都以失败告终，人们不是证明时不知觉的用了与第五公设有关的定理，就是提出了 与第五公设逻辑等价的新定理。不过，这些错误与失败却为后来的成功铺了路。1830年左右， 匈牙利数学家鲍耶与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基在前人的基础上分别发现了非欧几何的存在。 1.2.4思维训练作用一一数学证明有助于良好思维能力的培养。 证明数学命题的过程可以训练和培养学生的逻辑思维能力以及数学的交流能力，使人们形成严 谨的治学态度。数学证明是一种演绎证明，它的每一步都力求准确，这对人们良好的思维能力 的培养是有很大的作用的。 2数学证明的方法 一个数学命题往往可以有不同的思路来思考证明，思路不同，所产生的影响不同，证明方法也 不同，对于不同的数学命题的证明也可以有许多不同的思路，不同的方法。数学证明中有许多 不同的证明方法。下面是一些常见的方法。 2.1综合法和分析法 综合法是从命题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的方法。分析法则是 从要证的结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题的已知条件的方法。 2.2直接法和间接法 直接法是从命题的条件出发，根据已知的定义，公理，定理等等直接推断结论的真实性的方法。 凡是用演绎法证明命题真实性的证明方法都是直接法。如例1的四种方法就是直接法。有些命 题用直接法证明比较困难，有的在特定的场合甚至找不到直接证明的根据，这时可证明与原论 题相矛盾的判断是假的，或考证它的等效命题，结果也能间接地达到目的。这种不是从正面证 明论题真实性的方法叫做间接法。 间接法有反证法和同一法两种。 2.2.1反证法 通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。 反证法的一般步骤如下 假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。 从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设条件等自相矛盾的 结论，即说证明结论否定不成立。 据排中律，最后肯定原命题成立。 反证法有归谬法与穷举法两种。在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的方面只有一种可能 情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反证法叫做归谬法。如果与原命题相矛 盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾方面的所有可能的情况一一驳倒，才能肯定结论成立， 这种反正法叫做穷举法。 2.2.2同一法 当一个命题的条件和结论都唯一存在，它们所指的概念是同一概念是，这个命题与它的逆命题 等效，这个原理叫做同一原理。 对于符合同一原理的命题当直接证明有困难时，可以改证和它等效的逆命题，这种证明方法叫 做同一法。 同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。 例4如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。（勾股 定理逆定理） 已知如图△人3。中，AB2 AC2 BC2 o 求证是直角三角形 证明分别以人3, AC为直角边，作直角三角形ABC,使得 AB AB,AC AC 则根据勾股定