力学竞赛辅导三-动力学普遍定理

力学竞赛辅导三 动力学普遍定理 一、基本力学量的计算 1、质点系及刚体动量的计算 质点系质心的位置矢量及坐标 例1求图示系统的总动量。 A B O v v 1传动皮带的质量为m，主动轮的角速度为，主动轮与从动轮的质量分别为，半径分别为，设传动皮带和传动轮的质量都是匀称的。 0 A B O v w O O1 2长均为l，质量均为m的均质杆OA，OB在O处以光滑铰链连接。（2mv，mv） v w C A θ 3质量为m1，半径为R的均质圆盘与质量为m2，长度为l的 均质杆铰接于A点。图示瞬时圆盘速度为v，杆的角速度为。 解 圆盘与杆均为平面运动，以A为基点，则杆 B 2．转动惯量 定义 质量连续分布 计算（1）利用回转半径其中m为整个刚体的质量， 由 得 为刚体对z轴的回转半径，具有长度的量纲。 （2）积分法 （3）平行轴定理 （4）组合法求转动惯量 若机构由几个简洁形态的刚体组成，则分别求每个刚体对轴的转动惯量，然后再叠加。 （5）试验法 常用 均质圆盘对盘心轴的转动惯量 圆环 均质细直杆对一端的转动惯量 均质细直杆对中心轴的转动惯量 mi ri ′ O y x z ri y ′ x ′ z ′ C vi rC 3、质点系动量矩的计算 下面证即质点系对质心C的动量矩 由质心坐标公式 即质点系对随意定点O的动量矩，等于集中于质心的系统动量对点O的动量矩与质点系对质心C的动量矩的矢量和。 肯定动量对质心的矩 相对动量对质心的矩 A O w 例2图中杆长为l，质量为m ，均质圆盘半径为R，质量为m，圆心在A点。已知杆OA以角速度w 绕O轴转动，试求如下几种状况下圆盘对定点O的动量矩 1圆盘固结于OA杆上。 2圆盘绕轴A相对于杆以角速度w 转动。 3圆盘绕轴A相对于杆以角速度-w 转动。 4圆盘以肯定角速度w 绕A轴转动。 5圆盘以肯定角速度-w 绕A轴转动。 解1 圆盘固结，则圆盘的运动为绕点O转动，角速度为。 2圆盘绕轴A转动，相对于杆的角速度为w，则圆盘的肯定角速度等于2w， （） 3圆盘绕轴A转动，相对于杆的角速度为-w，则圆盘的肯定角速度等于0， 4圆盘以肯定角速度w 绕A轴转动，与（1）相同。 5圆盘以肯定角速度-w 绕A轴转动。 3、质点系动能和力的功的计算 1质点系动能 2平动刚体的动能 3定轴转刚体的动能 4平面运动刚体的动能 5柯尼希定理 质点系的动能肯定运动动能，等于系统跟随质心平移的动能牵连运动动能与相对于质心平移系运动的动能相对运动动能之和。 v 例3图示坦克的履带质量为m，两个车轮的 质量均为m1。车轮可视为均质圆盘，半径为R，两车轮间的距离为pR。设坦克前进速度为v，计算此质点系的动能。 解 O1 O22 q 例4质量为m、半径为 3R 的均质大圆环在粗糙的水平面上纯滚。另一小圆环质量亦为m ，半径为R ，又在粗糙的大圆环内壁做纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。求以下三种状况下系统的动能。 1大圆环固定；2大圆环绕中心定轴转动； 3大圆环沿粗糙水平面纯滚动。 解1大圆环固定。 O1 O22 q 2大圆环绕中心定轴转动。 j vEr O1 O22 E vO2r O1 O22 q j 3大圆环沿粗糙水平面纯滚动。 计算系统的动能 由运动学可知 建立随质心O1平动的坐标系O1 x1 y1 O1 O2 E vO1 vO2r vO1 vEr Mi C Fi drC driC j b d 4平面运动刚体上力系的功 O B C F S b O B C F b Fs FN M 平面运动刚体上力系的功等于力系向质心简化所得的力和力偶做功之和。 例5滚动摩阻的功 拉力F的功 注功是力与其作用点位移的点乘。 这里“位移”并不是力作用点在空间中的 O A C B P w 位移，而是指受力物体上受力作用那一点的位移。 例6已知轮 O 质量为 m，P，f 。 求轮O移动距离S时轮的角速度、角加速度。 解取轮O为探讨对象FN O C B P w FT mg 主动力的功 由动能定理得 解得， 4、关于动量矩定理的应用 可以证明，对任一动点A，有对该点的动量矩定理 质点系对动点的动量矩对时间的导数以及动点速度与质点系动量的矢积之和，等于质点系的外力对动点的矩。 上式表明，以一些特殊点为矩心时，动量矩定理仍具有简洁的形式。如 （1）当A为固定点时；（2）当A为系统质心时； （3）当A为速度瞬心，且到质心C 的距离保持不变时。 B A C j mg P FNA FNB w a P C F a 例7 动力学普遍定理 动量定理 动量矩定理 动能定理 动量方法 能量方法 二、动力学普遍定理的综合应用 动力学两类问题和分析程序 先避开未知约束力，求解运动量；然后再选择合适的定理，确定动约束力。 留意分析约束的性质。确定 是一处约束还是多处约束；是志向约束还是非志向约束。 对于具有志向约束，特殊是具有多处约束的一个自由度系统，一般先应用动能定理分析运动，然后再采纳动量定理或动量矩定理，求动约束力。 例8均质圆轮A和B的半径均为r，圆轮A和B以及物块D的重量均为W，圆B O2 A O1 30o D W W W M 轮B上作用有力偶矩为M的力偶，且3Wr/2 MWr/2。圆轮A在斜面上作纯滚动。不计圆轮B的轴承的摩擦力。 求1、物块D的加速度；2、二圆轮之间的绳索所受拉力；3、圆轮B处的轴承约束力。 解1、确定物块的加速度 对系统整体应用动能定理。 将全部运动量都表示成广义坐标 SD 的形式 为求物