力学竞赛试题

海南高校土木建筑工程学院、海南省力学学会 其次届力学竞赛试题 1、如图1所示，质量均为m的n（n＞3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30 的斜面上，并用铅垂设置的铰支板拦住。若已知圆柱半径为R，板长为l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数μ＝1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。 图1 【解】先设圆柱，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次推断，直到圆柱与斜面间摩擦力均为零。再探讨圆柱共n-1个柱体的整体平衡，由 有 为圆柱与间的作用力。 再探讨圆柱，受力如图，由 有 设，由 当时，，可知A处先滑动，且。 由 将代入，得 所以 由 最终探讨铰支板的平衡，由 所以 2、如图2所示，偏心轮质量为m，偏心距OC＝e。轮对质心C的回转半径为ρc，置于光滑水平面上。初始时OC呈水平，质心C有一水平初速υ，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。 图2 【解】取质心平动参考系（图7），它以常速度运动。质心的相对速度沿轴。由动能定理，有 图 7 其中。当质心C运动至最低点时，有 ， 故有 此时运用相对质心的动量矩定理，有 故 所以C点的加速度向上，为 所以有 即 3、图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料相同，横截面面积也相同，问有何方法可使各杆同时达到材料的许用应力[σ] 图3 【解】方法1利用装配应力变更内力安排。 在精确加工、装配的状况下，桁架中各杆的 受力为 （1） （2） 因此，总是杆3先达到。为使各杆的 图 8 应力同时达到，可采纳加装配应力的方法，即 预先将杆3做长，在强制装配以后，杆3将具有 预应力，而杆1、2将具有预拉应力。 由图8可知，设外载增至时，各杆的应力同时到达，节点到达。在小变形假设的前提下，叠加原理运用，与各杆伸长量之间应满意下列协调方程 3 各杆的轴力又满意下列物理方程 （） （4） 由方程（3）、（4）解得杆3长度的过盈量， （5） 该桁架的许用载荷为 由式（5）可以看出，这个解答的适用范围有肯定的限制，即若接近时，就变得相当大，这时，小变形假设就不适用了，因此所得值也就没意义了。 方法2对于短暂加载状况，除了上述方法外，还可以采纳加热应力的方法来达到相同的目的，若材料的线膨胀系数为，又假设材料的许用应力不随温度的变更而变更，则杆3所需上升的温度为 4、物块C的重量为G，置于悬臂梁AB上（图4），梁长L，弯曲刚度EI，物块与梁间的摩擦系数为μ，求 图4 （1）物块起先滑动时的位置； （2）物块滑离B端时的速度。 【解】（1）设物块起先滑动时的位置为，如图9所示，则AD段的挠度曲线方程为 由此可知 （1） 由静力平衡条件，可求得摩擦力为 而物块起先滑动的条件为 图 9 由以上二式易得 将式1代入上式，即可得到物块起先滑动时的位置为 （2）物块由D处滑至B处，在此阶段的始、末两处的挠度分别为 ， 设物块滑离B端时的速度为，W为摩擦力F在此滑动过程中所作的功，由能量守恒定律可得 （2） 这里假定物块很小，其转动动能可忽视不计。 由于 而 故有 积分上式，得 3 将式（3）代入式（2），最终得到 5、下列结构均为等直杆，各相应载荷为随意分布。证明图5中（a）杆的轴力图、（b）圆轴的扭矩图、（c）梁的剪力图、（d）梁的弯矩图，其图形面积代数和均为零（（c）梁剪力图在受分布和集中力偶矩时例外）。 图5 【证明】设轴力为，扭矩为，弯矩为，剪力为，E为弹性模量，G为切变性模量，I和分别为轴惯性矩和极惯性矩，A为杆的截面面积。 a图，受随意分布和集中的轴向力作用。杆的总伸长为。由胡克定律，正应变，故轴力图面积的代数和为 b图,受随意分布和集中的扭力偶作用。圆轴扭转角的边界条件为，依据圆轴扭转变形基本公式，故扭矩图面积的代数和为 c图，受随意分布和集中的横向载荷作用。对于简支梁，，且在无分布力偶矩的状况下，剪力与弯矩的微分关系为，故有