正多边形和圆.docx

正多边形和圆 教学设计示例1 教学目标 （1）使学生理解正多边形概念，初步掌握正多边形与圆的关系的第一个定理； （2）通过正多边形定义教学，培养学生归纳能力；通过正多边形与圆关系定理的教学培养学生观察、猜想、推理、迁移能力； （3）进一步向学生渗透“特殊一般”再“一般特殊”的唯物辩证法思想. 教学重点 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的第一个定理. 教学难点 对定理的理解以及定理的证明方法. 教学活动设计 （一）观察、分析、归纳 观察、分析 1.等边三角形的边、角各有什么性质。 2.正方形的边、角各有什么性质。 归纳等边三角形与正方形的边、角性质的共同点. 教师组织学生进行，并可以提问学生问题. （二）正多边形的概念 （1）概念各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n（n≥3）条边，就叫正n边形.等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形. （2）概念理解 ①请同学们举例，自己在日常生活中见过的正多边形.（正三角形、正方形、正六边形，.） ②矩形是正多边形吗。为什么。菱形是正多边形吗。为什么。 矩形不是正多边形，因为边不一定相等.菱形不是正多边形，因为角不一定相等. （三）分析、发现 问题。正多边形与圆有什么关系呢。 发现正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆. 分析。正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分.要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形.要将圆六等分呢。 （四）多边形和圆的关系的定理 定理把圆分成n（n≥3）等份 （1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 我们以n5的情况进行证明. 已知⊙o中，，tp、pq、qr、rs、st分别是经过点a、b、c、d、e的⊙o的切线. 求证（1）五边形abcde是⊙o的内接正五边形； （2）五边形pqrst是⊙o的外切正五边形. 证明（略） 引导学生分析、归纳证明思路 弧相等 说明（1）要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即①依次连结圆的n（n≥3）等分点，所得的多边形是正多迫形；②经过圆的n（n≥3）等分点作圆的切线，相邻切线相交成的多边形是正多边形. （2）要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件. （3）此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形. （五）初步应用 p157练习 1、（口答）矩形是正多边形吗。菱形是正多边形吗。为什么。 2.求证正五边形的对角线相等. 3.如图，已知点a、b、c、d、e是⊙o的5等分点，画出⊙o的内接和外切正五边形. （六）小结 知识（1）正多边形的概念.（2）n等分圆周（n≥3）可得圆的内接正n边形和圆的外切正n边形. 能力和方法正多边形的证明方法和思路，正多边形判断能力 （七）作业教材p172习题a组2、3. 教学设计示例2 教学目标 （1）理解正多边形与圆的关系定理； （2）理解正多边形的对称性和边数相同的正多边形相似的性质； （3）理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； （4）通过正多边形性质的教学培养学生的探索、推理、归纳、迁移等能力； 教学重点 理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念和性质定理. 教学难点 对“正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆”的理解. 教学活动设计 （一）提出问题 问题。上节课我们学习了正多边形的定义，并且知道只要n等分（n≥3）圆周就可以得到的圆的内接正n边形和圆的外切正n边形.反过来，是否每一个正多边形都有一个外接圆和内切圆呢。 （二）实践与探究 组织学生自己完成以下活动. 实践 1、作已知三角形的外接圆，圆心是已知三角形的什么线的交点。半径是什么。 2、作已知三角形的内切圆，圆心是已知三角形的什么线的交点。半径是什么。 探究1。当三角形为正三角形时，它的外接圆和内切圆有什么关系。 探究2。（1）正方形有外接圆吗。若有外接圆的圆心在哪。（正方形对角线的交点.） （2）根据正方形的哪个性质证明对角线的交点是它的外接圆圆心。 （3）正方形有内切圆吗。圆心在哪。半径是谁。 （三）拓展、推理、归纳 （1）拓展、推理 过正五边形abcde的顶点a、b、c、作⊙o连结oa、ob、oc、od. 同理，点e在⊙o上. 所以正五边形abcde有一个外接圆⊙o. 因为正五边形abcde的各边是⊙o中相等的弦，所以弦心距相等.因此，以点o为圆心，以弦心距（oh）为半径的圆与正五边形的各边都相切.可见正五边形abcde还有一个以o为圆心的内切圆. （2）归纳 正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上 它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径. 其他两个顶点到圆心的距离都等于半径. 正五边形的各顶点共圆. 正五边形有外接圆. 圆心到各边的距离相等. 正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离. 照此法证明，正六边形、正七边形、正n边形都有一个外接圆和内切圆. 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距.正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等.正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于. （3）巩固练习 1、正方形abcd的外接圆圆心o叫做正方形abcd的______. 2、正方形abcd的内切圆⊙o的半径oe叫做正方形abcd的______. 3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______. 4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等. （四）正多边形的性质 1、各边都相等. 2、各角都相等. 观察正三角形、正方形、正五边形、正六边形是不是轴对称图形。如果是，它们又各应有几条对称轴。 3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 4、边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方. 5、任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 以上性质，教师引导学生自主探究和归纳，可以以小组的形式研究，这样既培养学生的探究问题的能力、培养学生的研究意识，也培养学生的协作学习精神. （五）总结 知识（1）正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念； （2）正多边形与圆的关系定理、正多边形的性质. 能力探索、推理、归纳等能力. 方法证明点共圆的