勾股定理综合复习讲义

勾股定理综合提高 【学问梳理】 1、勾股定理直角三角形两直角边的等于.【性质定理】 2、勾股逆定理假如直角三角形三边长a、b、c满意，那么这个三角形是_________三角形.（且∠90）【判定定理】 当三角形三边为a、b、c，且c为最大边时，①若a2b2c2，则∠C为________； ②若c2a2b2，则∠C为__________；③若c2a2b2，则∠C为___________. 3、勾股数满意条件a2b2c2的三个正整数称为勾股数. 常见的勾股数组有3、4、5（连续整数）； 5、12、13； 6、8、10（连续偶数）； 7、24、25；8、15、17；9、12、15； 9、40、41； 10、24、26； 11、60、61； 15、20、25 这些勾股数组的整数倍仍旧是勾股数组. 勾股数通式巧总结 通式一（3,4,5），（6,8,10） 、、（是正整数） 通式二（5,12,13），（7,24,25），（9,40,41） 、、（是正整数） 通式三（8,15,17），（12,35,37） 、、（是正整数） 4、勾股定理的证明 5、直角三角形中的几特性质说明 （1）直角三角形斜边上的中线等于_________________. 2 Rt△中30角所对的边等于_______________.三边比为________________. 3 45的等腰直角三角形三边比为___________________. 6、勾股树 A B C D 1以直角三角形的三边为边向外作等边三角形如图，探究S1＋S2及S3的关系； 等边三角形边长为，则高__________，面积______________. 2以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形如图，探究S1＋S2及S3的关系； 3以直角三角形的三边为直径向形外作半圆如图，探究S1＋S2及S3的关系． 7、最短距离问题将立体图形绽开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）. 8、非负性 肯定值 平方项（或偶次方项） 二次根式 9、数轴表示数如在数轴上作出表示 、、、、1-和 1的点 10、方法见比设参 【经典易错例题透析】 类型一勾股定理及其逆定理的应用 1．Rt△ABC中，斜边BC＝2，则AB2＋AC2＋BC2的值为 ． A8 B4C6D无法计算 2.易错题下列几组数据①0.6, 0.8, 1 ②12,13,5； ③7,8，15 ④40,41,9. 其中是勾股数的有（ ） A4组 B3组C2组D1组 3.已知直角三角形两直角边分别为5,12,则三边上的高的和为____. 4. 已知及互为相反数，则以为三边的三角形是三角形. 5.已知a,b,c是△ABC的三边长，且满意关系式，则△ABC的形态为_____________. 6.如图，在Rt△ABC中，∠C90，AC3.将其绕B点顺时针旋转一周，则分别以BA，BC为半径的圆形成一圆环，则该圆环的面积为（） A. B. C. D. 7.图甲是我国古代闻名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中，若直角边AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是_________ 类型二利用勾股定理证明、计算 1．如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1、2，则正方形的边长是______． 2．在直线上依次摆着7个正方形如图，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______． 3.如图，已知△ABC中，∠ABC＝90，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，求AC的长是多少 4.在△ABC中，∠C90，点M是BC的中点，MD⊥AB于点D，求证ADACBD 类型三关于勾股定理的实际应用 1.如图,圆柱形容器中,高为8cm,底面周长为12cm,在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子,此时一只壁虎正好在容器外壁,离容器上沿2cm及蚊子相对的点A处,则壁虎捕获蚊子的最短距离为________cm容器厚度忽视不计. 类型四勾股定理及乘法公式变形综合应用 1.（巧思妙解题）在Rt△ABC中，∠C，ACBC15，AB11，则Rt△ABC的面积为__________. 2．如图，Rt△ABC中，∠C90，CD⊥AB于点D，AB13，CD6，则ACBC等于_______________. 3.如右上图中大、小正方形的面积分别为65和9，那么一个直角三角形的两直角边的和等于__________. 类型五勾股定理及等腰直角三角形综合应用 1.如图，在中，ACBC，，D、E是边AB上的两点，AD3，BE4，．求的面积． A B E D C 2. 如图，在△ABC中，∠ACB90，ACBC，P是△ABC内的一点，且PB1，PC2，PA3，求∠BPC的度数. 3．如图，在四边形ABCD中，ABBC，∠ABC∠CDA90，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD面积为8，则BE的长为____________ 4．如图，P是正△ABC内的一点，且PA6，PB8，PC10，若将△PAC绕点A旋转后，得到，则点P及点之间的距离为________，∠APB________．