勾股定理全章知识点归纳总结

勾股定理全章学问点归纳总结 勾股定理全章学问点归纳总结 一．基础学问点 1勾股定理 直角三角形两直角边a, b的平方和等于斜边c的平方。（即a2b2＝c2） 要点诠释 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用 （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边及另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2勾股定理的逆定理 假如三角形的三边长a, b, c，则有关系a2b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形态，在运用这确定理时应留意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2及a2b2是否具有相等关系，若c2＝a2b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2a2b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2b2，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中，，及只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 3勾股定理及勾股定理逆定理的区分及联系 区分勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系勾股定理及其逆定理的题设和结论正好相反，都及直角三角形有关。 4互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 规律方法指导 1．勾股定理的证明实际接受的是图形面积及代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时确定要留意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理假如三角形的三条边长a，b，c有下列关系a2b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设, 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例勾股定理及勾股定理逆定理） 5勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下 方法一，，化简可证． 方法二 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为 大正方形面积为所以 方法三，，化简得证 6勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数（为正整数）； （为正整数）（，为正整数） 二, 经典例题精讲 题型一干脆考查勾股定理 例１.在中，． ⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长分析干脆应用勾股定理 解⑴ ⑵ 题型二利用勾股定理测量长度 例题1 假如梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 解析这是一道大家熟知的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，.已知斜边长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以干脆利用勾股定理 依据勾股定理AC2BC2AB2, 即AC292152,所以AC2144,所以AC12. 例题2 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 解析同例题1一样，先将实物模型转化为数学模型，如图2. 由题意可知△ACD中,∠ACD90,在Rt△ACD中，只知道CD1.5，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。 标准解题步骤如下（仅供参考） 解如图2，依据勾股定理，AC2CD2AD2 设水深AC x米，那么ADABACCBx0.5 x21.52（ x0.5）2 解之得x2. 故水深为2米. 题型三勾股定理和逆定理并用 例题3 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且那么△DEF是直角三角形吗为什么 解析这道题把很多条件都隐藏了，乍一看有点摸不着头脑。细致读题会意可以发觉规律，没有任何条件，我们也可以开创条件，由可以设AB4a，那么BECE2 a,AF3 a,BF a,那么在Rt△AFD , Rt△BEF和 Rt△CDE中，分别利用勾股定理求出DF,EF和DE的长，反过来再利用勾股定理逆定理去推断△DEF是否是直角三角形。 详细解题步骤如下 解设正方形ABCD的边长为4a,则BECE2 a,AF3 a,BF a 在Rt△CDE中，DE2CD2CE24a22 a220 a2 同理EF25a2, DF225a2 在△DEF中，EF2 DE25a2 20a225a2DF2 ∴△DEF是直角三角形，且∠DEF90. 注本题利用了四次勾股定理，是驾驭勾股定理的必练习题。 题型四利用勾股定理求线段长度 例题4 如图4，已知长方形ABCD中AB8cm,BC10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解析解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。 详细解题过程如下 解依据题意得Rt△ADE≌Rt△AEF ∴∠AFE90, AF10cm, EFDE 设CExcm， 则DEEFCD－CE8－x 在Rt△ABF中由勾股定理得 AB2BF2AF2，即82BF2102， ∴BF6cm ∴CFBC－BF10－64cm 在Rt△ECF中由勾股定理可得 EF2CE2CF2，即8－x 2x242 ∴64－16xx2216 ∴x3cm,即CE3 cm 注本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五利用勾股定理逆定理推断垂直 例题5 如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直及AB边和CD边，他测得AD80cm，AB60cm，BD100cm，AD边及AB边垂直吗怎样去验证AD边及CD边是否垂直 解析由于实物一般比较大，长度不简洁用直尺来便利测量。我们通常截取部分长度来验证。如图4，矩