勾股定理全章知识点总结大全

勾股定理全章学问点总结大全 一．基础学问点 1勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。（即a2b2＝c2） 要点诠释 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用 （1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，） （2）已知直角三角形的一边及另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2勾股定理的逆定理 假如三角形的三边长a、b、c，则有关系a2b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形态，在运用这肯定理时应留意 （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为c； （2）验证c2及a2b2是否具有相等关系，若c2＝a2b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形 （若c2a2b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2a2b2，则△ABC为锐角三角形）。 （定理中，，及只是一种表现形式，不行认为是唯一的，如若三角形三边长，，满意，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边） 3勾股定理及勾股定理逆定理的区分及联系 区分勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系勾股定理及其逆定理的题设和结论正好相反，都及直角三角形有关。 4互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会变更 ②依据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下 方法一，，化简可证． 方法二 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积及小正方形面积的和为 大正方形面积为 所以 方法三，，化简得证 6勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等 ③用含字母的代数式表示组勾股数（为正整数）； （为正整数）（，为正整数） 二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采纳的是图形面积及代数恒等式的关系相互转化证明的。 2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。 3．勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个学问在应用过程中易犯的主要错误。 4. 勾股定理的逆定理假如三角形的三条边长a，b，c有下列关系a2b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例勾股定理及勾股定理逆定理） 勾股定理典型例题及专项训练 专题一干脆考查勾股定理及逆定理 例１.在中，． ⑴已知，．求的长 ⑵已知，，求的长分析 练习1、如图所示，在四边形ABCD中，BAD，DBC，AD3，AB4，BC12，求CD。 2．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。 3、已知如图，∠B∠D90，∠A60，AB4，CD2。求四边形ABCD的面积。 例2已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。 练习在ABC中，AB13，AC15，高AD12，则BC的长为多少 例3（1）.已知ABC的三边、、满意，则ABC为 三角形 （2）.在ABC中，若（）（-），则ABC是 三角形，且 练习1、已知 及互为相反数，试推断以、、为三边的三角形的形态。 2、.若ABC的三边、、满意条件，试推断ABC的形态。 3.已知则以、、为边的三角形是 例4已知如图，在△ABC中，∠C60，AB，AC4，AD是BC边上的高，求BC的长。 如图，在Rt△ABC中，∠ACB90，CD⊥AB于D，设ABc，ACb，BCa，CDh。 求证（1） （2） （3）以为三边的三角形是直角三角形 经典图形突破 练习1.如图，△ABC中，ABAC，∠A45，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E，若CD1，则BD等于 A．1 B． C． D． 2.已知始终角三角形的斜边长是2，周长是2，求这个三角形的面积． 3.△ABC中，D是AB的中点，若AC12，BC5，CD6．5． 求证△ABC是直角三角形． 4.如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且ECBC， 猜想AF及EF的位置关系，并说明理由． 5.如图，,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 6.如图2-10，△ABC中，ABAC20，BC32，D是BC上一点，且AD⊥AC，求BD的长． 7.如图2-9，△ABC中，∠ACB90，ACBC，P是△ABC内一点，满意PA3，PB1，PC2，求∠BPC的度数． 8.已知△ABC中，∠ACB90，AC3,BC4,（1）AD平分∠BAC,交BC于D点。求CD长 （2）BE平分∠ABC,交AC于E，求CE长 9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝600，∠B＝∠D＝900，BC＝2，CD＝3，求AB的长 10.如图，P为△ABC边BC上一点，PC＝2PB，已知∠ABC＝450，∠APC＝600，求∠ACB的度数。 11、已知△ABC中，∠BAC＝750，∠C＝600，BC＝，求AB、AC的长。 12、如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G。 （1）求证G是CE的中点； （2）∠B＝2∠BCE。 （3）若AC6,AB8，求DG的长。