初高中数学衔接教材 §2.2 二次函数(含答案)

2．2 二次函数 2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 {情境设置可先让学生通过详细实例探究二次函数的图象，如作图（1） 2 3 老师可采纳计算机绘图软件协助教学} 问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系 为了探讨这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系。 先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象。 先列表 x －3 －2 －1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大到两倍就可以了。 图2.2-2 x y O －1 y＝2x2 y＝2x＋12 y＝2x＋12＋1 y＝x2 y＝2x2 图2.2-1 x O y 再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到。 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝x2，y＝－2x2的图象，并探讨这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系。 通过上面的探讨，我们可以得到以下结论 二次函数y＝ax2a≠0的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到。在二次函数y＝ax2a≠0中，二次项系数a确定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小。 问题2 函数y＝ax＋h2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系 同样地，我们可以利用几个特别的函数图象之间的关系来探讨它们之间的关系。同学们可以作出函数y＝2x＋12＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的图象我们不难发觉，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2x＋12＋1的图象。这两个函数图象之间具有“形态相同，位置不同”的特点。 类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3x－12＋1的图象，探讨它们图象之间的相互关系。 通过上面的探讨，我们可以得到以下结论 二次函数y＝ax＋h2＋ka≠0中，a确定了二次函数图象的开口大小及方向；h确定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k确定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。 由上面的结论，我们可以得到探讨二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象的方法 由于y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋＋c＝ax2＋＋＋c－ ， 所以，y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0具有下列性质 （1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝。 （2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝。 上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来。因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题。 x O y x＝－1 A－1,4 D0,1 B C 图2.2－5 x y O x＝－ A 图2.2-3 x y O x＝－ A 图2.2-4 例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）并画出该函数的图象。 解∵y＝－3x2－6x＋1＝－3x＋12＋4， ∴函数图象的开口向下；对称轴是直线x＝－1；顶点坐标为－1，4； 当x＝－1时，函数y取最大值y＝4； 当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增大而减小； 采纳描点法画图，选顶点A－1，4，与x轴交于点B和C，与y轴的交点为D0，1，过这五点画出图象（如图2－5所示）。 说明从这个例题可以看出，依据配方后得到的性质画函数的图象，可以干脆选出关键点，削减了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确。 函数y＝ax2＋bx＋c图象作图要领 ①确定开口方向由二次项系数a确定。 ②确定对称轴对称轴方程为 ③确定图象与x轴的交点状况，①若△0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c0求出②①若△0则与x轴有一个交点，可由方程x2＋bx＋c0求出③①若△0则与x轴有无交点。 ④确定图象与y轴的交点状况,令x0得出yc，所以交点坐标为（0，c） ⑤由以上各要素出草图。 练习作出以下二次函数的草图（1） 2 3 x /元 130 150 165 y/件 70 50 35 例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示 若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元此时每天的销售利润是多少 分析由于每天的利润＝日销售量y销售价x－120，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先须要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值。 解由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋b，将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有 解得。 ∴y＝－x＋200。 设每天的利润为z（元），则z＝－x200x－120＝－x2＋320 x－24000 ＝－x－1602＋1600， ∴当x＝160时，z取最大值1600。 答当售价为160元/件时，每天的利润最大，为1600元。 例3 把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值。 解法一y＝x2＋bx＋c＝x2，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到的图像，也就是函数y＝x2的图像，所以， 解得b＝－8，c＝14。 解法二把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，等价于把二次函数y＝x2的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x2＋bx＋c的图像。