向量专题讲座

平面向量专题讲座 一平面向量的概念 1庖量即有大小又有方向的量叫做向量；向量表示方法.用有向线段来表示.有向线段的长度表示向 量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用了万，BC表示，向量的模. 向量的长度叫向量的模，记作|a|或才万零向量.长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向 是任意的。单位向量长度为1个单位长度的向量叫做单位向量.与a平行的单位向量e士洁， 共线向 |d| 重.方向相同或相反的非零向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线。 相等向量长度相等且方向相同的向量叫相等向量相反向量长度相等且方向相反的向量叫相反向量， 向量的加法求两个向量和的运算， 2法则.三角形法则，平行四边形法则 运算律交换律abba;结合律abcabc 向量的减法求两个向量差的运算。 二平面向量的线性运算1.向量的加法2.向量的减法 注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接, 指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则 的要素是“起点重合”. 4. 向量的数乘运算 1 定义实数人与向量a的积是一个向量，记作Xa,规定|Aa| |X||a|. 当入＞0时，入a的方向与a的方向相同；当人V0时，扁的方向与a的方向相反； 当入0时，入a0.由此可见，总有入a与a平行. 2 运算律入a入pa, XpaXa ]i a, X ab Xa Xb 三、平面向量共线定理和平面向量基本定理 1. 向量共线定理向量aaO与b共线，当且仅当有唯一一个实数使bXa. 该定理的主要作用是证明两直线平行，三点共线问题. 2. 平面向量基本定理 1 平面向量基本定理如果eP e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平 面内的任意向量a ,有且只有一对实数扃，喝，使械1榻2 2 基底我们把不共线的向量e”々叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 3 向量的分解一个平面向量用一组基底e” e表示成a kieiX2e2的形式，我们称 它为向量的分解；当力，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解. 四、平面向量的数量积1.两个向量数量积的定义 （1）向量a与b的夹角己知两个非零向量a和b,在平面上任取一点O,作OA a, OB b,则ZAOB 0（0W（）W兀）叫做向量a与b的夹角. （2）平面向量数量积（内积）的定义己知两个非零向量a与b,它们的夹角是0,则数量 |a||b|cos（）叫做a与b的数量积（或内积），记作a b即有a-b |a||b|cos（）（OW0W兀）, 规定零向量与任一向量的数量积为0. （3）向量数量积的几何意义数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos。的 乘积. 五、平面向量的坐标表示和坐标运算 1. 平面向量的加、减、数乘的坐标运算 （1）己知向量a（x19 yi）, bg V2）和实数％，那么 〃Axix2，yiy2，但6X]X2，yiy2，aXxi，Xyi. （2）已知 A（xp yi）, B（X2，y2），O 为坐标原点, 则AB OB OA X2, y2 xi, yi X2xi, y2yi. 2. 平面向量数量积的运算律 己知a, b, c和实数则向量的数量积满足下列运算律 交换律a. bb. a结合律（入a）.b入（a. b）分配率（ab）. ca. cb. c 3. 两个向量数星积的性质 设a与b都是非零向量，e是单位向量，辅是a与e的夹角，0是a与b的央角. ①eM4・e|4|cos九；②，JL1g・〃0；③当、与方同向时,ab\a\\b\, 当亿与力反向时，。0一|〃|冏，特别地，1寸回2或回 ④cos 言蓊；⑤|。・6||小|. 4. 平面向量共线的坐标表示 若向量 〃（X1，Ji）, bg J2），则 a//bx2 xyi 0. 5. 平面向量数星积的坐标运算 XjXiyyi 设 a（xi，yi）, （X2，y2），则 l-Zxix2yiy2； 2|t/|/xF4-Ji； 3cos〈“，b 4 uJ_8o“0OOx]X2yiy2O. 高考链接 1 3 1、（2007海南）已知平面向量 （1,1）, 6 （1,-1）,则向量一 1一一h （） 2 2 A . 2, 1 B. -2,1 C. 1,0 D・-L2 2、2008海南平面向量“，方共线的充要条件是 A. a,方方向相同B.“，方两向量中至少有一个为零向量 C. 3Zg R , b- AaD.存在不全为零的实数九，4，“I仪人2 3、2008 海南己知向量 〃0, -1, 1, 64, 1, 0, |人〃 妇且；1〉0 ,则；1 4、2009海南文已知。一3,2/ -1,0,向量如人与。一2人垂直，则实数2的值 为 A --B -C --D- 7766 5、2009海南理平面向量a与b的夹角为60。，。二 2,0,网1则\a 2h\ A V3B 2a/3C4D12 6. 2009 海南，5 分己知点 O、N、P 在△ ABC 所在平面内，\OA\ \OB\ \OC\, NA NB NC0, PA PB JB PC PC PA ,则点 0、N、P 依次是△幺8。的 A.重心、夕卜心、垂心C.外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心D.外心、重心、内心 7、2010海南a, b为平面向量，己知a 4, 3, 2ab 3, 18,则a, b夹角的余弦 值等于 A BC D 65656565 8 2011海南10已知a与b均为单位向量，其夹角为C,有下列四个命题 4|05|1 关［0苧］ P2 \a b\ I 3 e 4 |-/}| 1 其中的真命题是 A RM B住 9. 2012海南已知向量白力夹角为45。，且|a|l, |2-/f|VT0,贝小句 AE-JD 17. 2013福建在四边形ABCD中,衣 1,2,万万4,2,则该四边形的面积为 A厢2013 陕西，5 分 A. y[2 C. 一屯或W19. 2013 北京，5 分 B. 2y