哈工大热力学与统计物理大作业黑体辐射

黑体辐射 黑体辐射 才商要叙述了黑体辐射公式中几个重要结果维恩定律，瑞利一金斯公式和普朗 克公式的建立过程，遵循普朗克的思路给出了普朗克公式的量子论解释。 关键词黑体辐射；维恩定律；瑞利一金斯公式；普朗克公式；普朗克量子论 引言 所谓黑体，就是对什么光都吸收而无反射也无透射的物体。黑体是不存在的, 就像质点，刚体，电偶极子等物理概念一样是一个理想化的物理模型。物理上可 以用如图1所示的装置来模拟黑体。耐火材料做成的物体内部挖空一部分区域, 并且在物体一个面开一个非常小的小孔，一旦光线射进小孔后，在空腔内壁经过 多次吸收和反射，几乎完全被吸收掉，再跑出小孔的几率特别小，因此可以把空 腔的小孔视为黑体的表面。定义吸收本领a v ,T为在频率V附近，单位频率间 隔内被物体吸收的辐射通量与照射在该物体上的辐射通量之比，则黑体的吸收本 领av,Tl。问题来源牛顿在十七世纪建立了古典力学，成为科学发展的一 个里程碑。随后两百多年，科学家们以牛顿力学的模式，建立了有关声学、弹性 力学、热力学、电磁学等古典物理学门，并成功解释了几乎所有当时己知物质世 界的性质。到了十九世纪末，古典物理似乎已经趋于完备。当时英国著名的物理 学家凯尔文爵士就说过「在已建立的科学大厦中，后辈物理学家只能作一些零 碎的修补工作了」。然而，凯尔文同时也指出了 “在物理学晴朗天空远处，还有 两朵小小的令人不安的乌云”。这两朵乌云，指的是当时令人困惑的两个实验结 果一个是企图找出当时深信存在的传播光波的介质俗称“以太”但告失败 的实验；另一个是古典物理理论结果舆热辐射实验的严重偏离，亦称为“紫外灾 难ultraviolet catastrophe。当时几乎没人想到，这两朵小小的乌云竟为物理学 带来空前的革命第一朵乌云导致了爱因斯坦A. Einstein的相对论，从而彻 底改变了人们的时空观；而第二朵乌云则揭开了量子科技革命的序幕。 正文 1、维恩公式 实验发现热平衡时，空腔辐射的能量密度，与辐射的波长的分布曲线，其 形状和位置只与黑体的绝对温度T有关而与黑体的形状和材料无关。其分布如 错误未找到引用源。所示。 从热力学出发加上一些特殊的假设，得到一个分布公式 pvdv - C3 exp-C2v/Tdv 如图・1所示，可以看到，Wien公式在短波部分与实验还相符合，长波部分 则明显不一致。 能量密度 能量密度 510 _ X 104 cm图-2 10X 104 cm 图-1 2、瑞利一金斯公式 另一个较为成功公式是基于经典电动力学和统计力学导出的瑞利一金斯公 式，如图4所示瑞利一金斯公式适用于低频部分的黑体辐射实验结果，在高频部 分黑体辐射木领（吼丁）趋向于无穷大，与实验矛盾，史称紫外灾难。空腔内电 磁波和腔壁做简谐振动的原子交换能量达到平衡时满足的条件是 /Xvsr） g（i/）f（vsr） WG为辐射场的谱能量密度，gO） 8了1//凌为单位体积，v附近单位频率区 间内电磁波振动模式数目，区（*盘）为空腔器壁原子做谐振动的平均能量。为了计算谐振 子的平均能量（火丁），瑞利和金斯采用统计力学中的能均分定理 \eTdskT SrT e-iTds 将上式代入（1）式得到黑体辐射的瑞利一金斯公式 R必7）与三再匕7）蜡成 /I 4A 很明显，瑞利一金斯也符合维恩定律式的形式，不过没有出现位移的峰值。黑体辐射的 高频部分当入一,配（冗丁）一S实验结果是C（人0）一s瑞利一金斯公式和实验的 矛盾表明，该公式在推导过程中使用的能均分定理有问题，事实上求解谐振子平均能量时的 积分表明瑞利、金斯默认了能量无限可分的观念。 3、普朗克公式 辐射能量密度按波长分布实酷曲强实线和按 瑞羽■金斯公光算出的曲埃虚线 普朗克的黑体辐射公式包含了两个常量C1和C2,而不再使用参数,a3。由内插维恩公 式和瑞利一金斯公式得到的黑体辐射公式能和当时最精确的黑体辐射实验结果相符合。 将能量E划分为P个相等的能量单元 ,于是有E Pq 0这些能量单位q可以按不 同的比例分配给N个谐振子，这些能量单元都是不可区分的。P个能量单元分配到N个谐振子 分配方案数。和N个谐振子的玻尔兹曼炳之间的关系 P N心 12 的分配方案数共有 Sv In Q 为代入上式得到 Sv k[P Nw N _ 夕 hM _ N In N] N灯1 lnl -hi] N N N N 将谐振子平均能量代入上式得到N个谐振子的炳 Sy Nk[l lnl-In] 死 ％ 勺。我们又知道N个谐振子的炳是单个谐振子燔的 S Jt[llnl-In] n倍。于是单个谐振子的炳为珀 珀 ％ 珀o将上式对微分, 8我们得到谐振子的平均能量为 gp_”一1将平均能量式代入 R JT\ _ 2冗 U /Xi项gl涯I项。得黑体辐射本领1 一 c2 /切-1。谐振子的能 量单元必然正比于辐射场的频率，令4 我们便得到了普朗克的黑体辐射公式 三者图像的对比如图-5所示。 〃（虬 DI 图-3 从维恩定律、瑞利一金斯公式再到普朗克公式的建立过程来看，热力学统计物理在其中 起到了工具的作用，而普朗克的量子论的阐述过程中，玻尔兹曼炳的概念更是用到极致。黑 体辐射定律的建立和热力学统计物理的紧密关联，似乎也是情理之中，因为黑体辐射本身就 是热辐射的一个特殊情况。普朗克的成功除了得益于深厚的热力学统计物理的根底，敏锐的 头脑，还在于他十分注意最新实验的发展，在1900年鲁本斯和库尔玻姆实验发现黑体辐射 低频段与维恩公式明显偏离后，普朗克不得不修正他当时已取得结果。普朗克量子论假说具 有划时代的意义，能量单元的存在它打破了能量连续变化的经典观念，普朗克本人和他同时 代的学者都没有充分认识和理解，普朗克量子论提出后的5年他的工作几乎无人问津，直 到1905年爱因斯坦发展了量子论，提出光量子概念并成功解释光电效应以后，人们才逐渐 认识到普朗克量子论的巨大价值。