《数学与应用数学》专业综合教学大纲
数学与应用数学专业综合教学大纲 课程一高等代数考试大纳(总分100) 一、参考教材 北京大学数学系几何与代数教研室编,高等代数,高等教育出版社,2003,(第三版) 二、考试的内容及基本要求 第一章多项式 考试内容 1、数集、数域、多项式的概念、多项式的代数性质; 2、整除概念、整除性几个常用性质、不可约多项式; 3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推广、不可约多项式及其性质; 4、重因式、单因式、微商、重因式的判别及求法、去掉因式重数的方法、因式分解唯 一,性定理; 5、多项式的根、多项式的根的个数、复数域上多项式的分解、实数域上多项式的分解。 基本要求 1、掌握一元多项式概念。运算及多项乘积与次数的关系; 2、正确理解多项式整除的概念及性质。正确理解带余除法; 3、掌握最大公因式的概念、性质。求法以及多项式互素的概念和性质; 4、正确理解不可约多项式的概念。掌握多项式因式分解的唯一性定理; 5、正确理解多项式重因式的概念,掌握多项式有无重因式的判别方法; 6、掌握多项式函数以及多项式根的概念; 7、掌握复数域和实数域上多项式的因式分解定理; 8、掌握有理数域上的多项式的有理根的求法。 第二章行列式 考试内容 1、n级排列、逆序数、偶(奇)排列、对换、排列的奇偶性; 2、一般行列式的定义、n级行列式的性质; 3、矩阵的初等变换、行列式计算; 4、行列式按一行展开的性质、展开性质的应用; 5 Cramer法则、Laplace定理、行列式乘法法则; 基本要求 1、掌握n阶行列式的概念与性质; 2、学会用行列式的性质、熟练地计算行列式; 3、掌握克莱姆法则及拉普拉斯定理。 第三章线性方程组 考试内容 1、消元法、方程组的初等变换、方程组的有解判别; 2、n维向量概念、n维向量的运算、线性组合、向量组等价、线性相关(无关)、线性相 关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩; 3、矩阵秩的求法; 4、线性方程组有解判定定理、线性方程组解的求法、齐次线性方程组解的结构、一般 线性方程组解的结构、线性方程组解的几何意义; 5、两个多项式的结式、二元高次方程组的解法。 基本要求 1、理解消元法与矩阵初等变换的关系,能熟练地运用消元法解一般的线性方程组; 2、正确理解和掌握矩阵的被的概念,能熟练地运用矩阵的初等变换要求矩阵的秩; 3、掌握线性方程组有解的判定定理及其应用; 4、能熟练地求次线性方程组的基础解系; 5、一般线性方程组在有解的情况下,掌握它的解的结构; 6、掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组存在非零解的充要条件。 第四章矩阵 考试内容 1、矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩; 2、可逆矩阵、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的两个应用; 3、矩阵的分块、分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用; 4、逆矩阵的求法、分块乘法的初等变换。 基本要求 1、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律,并能熟练地运用; 2、掌握矩阵可逆的概念及其判定方法; 3、熟悉和掌握矩阵乘积的行列式及其秩的定理; 4、掌握初等矩阵的概念。初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的方法。 第五章二次型 考试内容 1、二次型的矩阵表示、二次型及二次型矩阵、替换前后二次型矩阵的关系、二次型的 标准形的求法; 2、正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的理论; 基本要求 1、掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵一一对应关系; 2、掌握化二次型为标准形的方法及其理论依据; 3、掌握矩阵合同的概念及其性质; 4、掌握正定二次型的概念和判别法。 第六章线性空间 考试内容 1、集合、映射、线性空间的定义及简单性质、线性相关性及儿个结论、维数、基与 坐标; 2、基变换与坐标变换、关于过渡矩阵的求法; 3、线性了空间及其判别、生成了空间; 4、了空间的交与和定义、维数公式、了空间交与和的求法、了空间的宜和。 基本要求 1、掌握线性空间概念及简单性质,了解公理化的思想方法; 2、正确理解和掌握线性空间的了空间的概念和判别方法、了空间交与和的概念,掌握 和是宜和的判别方法; 3、正确理解和掌握线性空间中的量的线性相关性的概念和性质; 4、掌握有限维线性空间的基与维数的概念及求法; 5、掌握线性空间中向量坐标的定义,基变换与坐标变换的公式,过渡矩阵的概念、性 质及求法。 第七章线性变换 考试内容 1、线性变换定义、线性变换的运算规律、线性变换多项式 2、线性变换矩阵在一组基下的矩阵、线性变换与其在一组基下矩阵的关系、坐标变 换公式、线性变换在不同基下的矩阵、线性变换在不同基下的矩阵的关系、相似矩阵的性质 3、特征值与特征向量的定义、特征值与特征向量的求法、特征多项式的性质 4、某组基下的矩阵为对角阵的线性变换、相似对角阵及所对应基的求法、值域与核 的定义及其性质、值域与核的求法 基本要求 1、正确理解线性变换的概念、掌握它的运算及简单性质。 2、掌握线性变换与矩阵的一一对应关系。 3、正确理解和掌握矩阵的相似,特征值特征|,J量等重要概念及求法。掌握矩阵对角化 的条件及其方法。 4、掌握线性变换的值域与核的概念及其求法。 第九章欧氏空间 考试内容 1、定义与基木性质、度量矩阵、标准正交基、标准正交基的存在性及求法、标准正 交基到标准正交基的过渡矩阵 基本要求 1、正确理解内积、欧氏空间、长度、夹角、距离等概念。 2、掌握标准正交基的求法。 3、理解欧氏空间同构的概念及同构的充分必要条件。 4、掌握正交变换与正交矩阵等概念、性质及关系。 课程二数学分析考试大纲(总分100) 一、参考教材 华东师大数学系编,数学分析(上、下册),高等教育出版社,2005,(第三版) 二、考试的内容及基本要求 第1章实数集与函数 考试内容 1. 实数分类、实数的性质(对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性)、绝 对值与不等式; 2. 区间、邻域、数集、确界原理; 3. 函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数; 4. 有界函数、单调函数、奇函数、偶函数、周期函数; 基本要求 1、要熟练掌握实数域及性质; 2、掌握几个常用的不等式; 3、熟练掌握邻域,上确界,下确界,确界原理; 4、牢固掌握函数的复合法则、基木初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、 奇偶性、有界性等)。 第2章数列极限 考试内容 1. 数列极限的“ -N”定义及其几何意义、无穷小数列; 2. 收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式、迫敛性、四则运算法则; 3. 单调有界定理、柯西收敛准则。 基本要求 1、要熟练掌握数列极限E-N”定义; 2、掌握收敛数列的若干性质; 3、掌握数列收敛的条件(单调有界原理、迫敛法