4.4.3　第1课时　直线的参数方程的应用

4.4.3 参数方程的应用 第1课时 直线的参数方程的应用 1．写出直线的参数方程． 2．通过直线的参数方程的应用，感受参数的意义及其作用． [基础初探] 直线的参数方程 直线参数方程的常见形式过定点P0x0，y0，倾斜角为α的直线的参数方程为l为参数．其中参数l的几何意义是有向线段P0P的数量，|l|表示P0P的长度． [思索探究] 1．怎样理解参数l的几何意义 【提示】 参数l的几何意义是P0到直线上随意一点Px，y的有向线段P0P的数量．当点P在点P0的上方或右方时，l取正值，反之，l取负值；当点P与P0重合时，l＝0. 2．如何由直线的参数方程求直线的倾斜角 【提示】 假如直线的参数方程是t为参数的形式，由方程干脆可得出倾斜角，即方程中的角θ，例如，直线的参数方程为则直线的倾斜角为15. 假如不是上述形式，例如直线t为参数的倾斜角就不能干脆推断了．第一种方法把参数方程改写为消去t， 有y－1＝x－1，即y－1＝tan 75x－1，故倾斜角为75.其次种方法把原方程化为参数方程和标准形式，即可以看出直线的倾斜角为75. [质疑手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨沟通 疑问1_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问2_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 疑问3_____________________________________________________ 解惑_____________________________________________________ 求直线的参数方程 已知直线l过3,4，且它的倾斜角θ＝120. 1写出直线l的参数方程； 2求直线l与直线x－y＋1＝0的交点． 【自主解答】 1直线l的参数方程为 t为参数， 即t为参数． 2把代入x－y＋1＝0， 得3－t－4－t＋1＝0，得t＝0. 把t＝0代入得两直线的交点为3,4． [再练一题] 1．已知两点A1,3，B3,1和直线ly＝x，求过点A、B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点M分AB的比． 【导学号98990032】 【解】 设直线AB上动点Px，y，选取参数λ＝， 则直线AB的参数方程为λ为参数，λ≠－1．① 把①代入y＝x，得＝，得λ＝1，所以M分AB的比＝1. 直线参数方程的应用 求直线t为参数被双曲线x2－y2＝1截得的弦长． 【思路探究】 先求出直线和双曲线的交点坐标，再用两点间的距离公式，或者用直线参数方程中参数的几何意义求弦长． 【自主解答】 令t＝t′，即t′＝2t，则直线的参数方程为其中sin θ＝，cos θ＝， 将代入双曲线方程，得 t′2－4t′－6＝0， 所以弦长＝|t1′－t2′|＝＝＝2. 方程中t的几何意义为定点P0x0，y0到动点Px，y的有向线段的数量，有两个原则其一为a2＋b2＝1，其二为b≥0.这是因为α为直线的倾斜角时，必有sin2α＋cos2α＝1及sin α≥0.不满意上述原则时，则必需通过换元的方法进行转化后，才能利用直线参数方程的几何意义解决问题． [再练一题] 2．湖南高考在平面直角坐标系xOy中，若直线l1s为参数和直线l2t为参数平行，则常数a的值为________． 【解析】 由消去参数s，得x＝2y＋1. 由消去参数t，得2x＝ay＋a. ∵l1∥l2，∴＝，∴a＝4. 【答案】 4 [真题链接赏析] 教材第57页习题4.4第6题运用小节中例3的结论 1求经过点P1，－5，倾斜角是的直线的参数方程； 2求1中的直线与直线x－y－2＝0的交点到点P的距离． 江苏高考在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为t为参数，曲线C的参数方程为θ为参数．试求直线l和曲线C的一般方程，并求出它们的公共点的坐标． 【命题意图】 本题考查参数方程与一般方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础学问，考查转化、分析问题的实力和运算实力． 【解】 因为直线l的参数方程为t为参数，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的一般方程为2x－y－2＝0. 同理得到曲线C的一般方程为y2＝2x. 联立方程组解得公共点的坐标为2,2，. 1．直线t为参数的倾斜角α＝________. 【解析】 依据tan α＝＝－1，因此倾斜角为135. 【答案】 135 2．曲线t为参数与坐标轴的交点是________． 【导学号98990033】 【解析】 当x＝－2＋5t＝0时，解得t＝，可得y＝1－2t＝， 当y＝1－2t＝0时， 解得t＝， 可得x＝－2＋5t＝， ∴曲线与坐标轴的交点坐标为0，，，0． 【答案】 0，，，0 3．点－3,0到直线t为参数的距离为________． 【解析】 直线化为一般方程为x－2y＝0. ∴点－3,0到直线的距离为＝1. 【答案】 1 4．直线t为参数被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________． 【答案】 我还有这些不足 1_____________________________________________________ 2_____________________________________________________ 我的课下提升方案 1_____________________________________________________ 2_____________________________________________________