4-4-3-圆与扇形(三).教师版

圆与扇形 例题精讲 探讨圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积；扇形的面积； 圆的周长；扇形的弧长． 一、 跟曲线有关的图形元素 ①扇形扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们常常说的圆、圆、圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢关键是． 比如扇形的面积所在圆的面积； 扇形中的弧长部分所在圆的周长 扇形的周长所在圆的周长2半径易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长 ②弓形弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积扇形面积-三角形面积．除了半圆 ③”弯角”如图 弯角的面积正方形-扇形 ④”谷子”如图 “谷子”的面积弓形面积 二、 常用的思想方法 ①转化思想困难转化为简洁，不熟识的转化为熟识的 ②等积变形割补、平移、旋转等 ③借来还去加减法 ④外围入手从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系” 板块、曲线型旋转问题 【例 1】 正三角形的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使点再次落在这条直线上，那么点在翻滚过程中经过的路途总长度是多少厘米假如三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚动过程中扫过的面积是多少平方厘米结果保留 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，点在翻滚过程中经过的路途为两段的圆弧，所以路途的总长度为 厘米； 三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个的扇形加上一个与其相等的正三角形，面积为平方厘米． 【答案】 【巩固】直角三角形放在一条直线上，斜边长厘米，直角边长厘米．如下图所示，三角形由位置Ⅰ绕点转动，到达位置Ⅱ，此时，点分别到达，点；再绕点转动，到达位置Ⅲ，此时，点分别到达，点．求点经到走过的路径的长． 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于为的一半，所以，则弧为大圆周长的，弧为小圆周长的，而即为点经到的路径，所以点经到走过的路径的长为厘米． 【答案】 【巩固】如图，一条直线上放着一个长和宽分别为和的长方形Ⅰ．它的对角线长恰好是．让这个长方形绕顶点顺时针旋转后到达长方形Ⅱ的位置，这样连续做三次，点到达点的位置．求点走过的路程的长． 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为长方形旋转了三次，所以点在整个运动过程中也走了三段路程如右上图所示． 这三段路程分别是 第1段是弧，它的长度是； 第2段是弧，它的长度是； 第3段是弧，它的长度是； 所以点走过的路程长为． 【答案】6π 【例 2】 草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊见如图．问这只羊能够活动的范围有多大圆周率取 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围可以分为，，三部分，其中是半径米的个圆，，分别是半径为米和米的个圆． 所以羊活动的范围是 ． 【答案】2512 【巩固】一只狗被拴在底座为边长的等边三角形建筑物的墙角上如图，绳长是，求狗所能到的地方的总面积．圆周率按计算 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图所示，羊活动的范围是一个半径，圆心角300的扇形与两个半径，圆心角120的扇形之和．所以答案是． 【答案】43.96 【例 3】 如图是一个直径为的半圆，让这个半圆以点为轴沿逆时针方向旋转，此时点移动到点，求阴影部分的面积．图中长度单位为，圆周率按计算． 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 面积圆心角为的扇形面积半圆空白部分面积也是半圆圆心角为的扇形面积． 【答案】4.5 【例 4】 如图所示，直角三角形的斜边长为10厘米，，此时长5厘米．以点为中心，将顺时针旋转，点、分别到达点、的位置．求边扫过的图形即图中阴影部分的面积．取3 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 留意分割、平移、补齐． 如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 因为，那么， 则阴影部分为一圆环的． 所以阴影部分面积为平方厘米． 【答案】75 【巩固】如右图，以为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米，斜边长10厘米，将它以点为中心旋转，问三角形扫过的面积是多少取3 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和．圆的半径就是直角三角形的斜边． 因此可以求得，三角形扫过的面积为平方厘米． 【答案】99 【巩固】“学而思杯”数学试题如图，直角三角形中，为直角，且厘米， 厘米，则在将绕点顺时针旋转的过程中，边扫过图形的面积为 ． 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右上图所示，假设旋转到达的位置．阴影部分为边扫过的图形． 从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积等于扇形的面积与的面积之和，空白部分面积等于扇形的面积与的面积，由于的面积与的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形与扇形的面积之差，为平方厘米． 【答案】12.56 【例 5】 如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米。现在以C点为圆点，顺时针旋转90度，那么，AB边在旋转时所扫过的面积是平方米 。（3.14） 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 边扫过的面积为左下图阴影部分，可分为右下图所示的两部分。 因为，所以。 所求面积为（平方米） 【答案】0.6775 【例 6】 如图30-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB4，BC3，AC5，求AD边扫过部分的面积．取3.14 【考点】曲线型旋转问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如下图所示， 如下图所示，端点A扫过的轨迹为，端点D扫过轨迹为，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．明显, 有阴影部分面积为,而直角三角形、ACD面积相等． 即AD边扫过部分的面积为7．065平方厘米． 【答案】7.065 【例 7】 祖冲之杯竞赛