3D数学矩阵的更多知识 自动保存的

3D数学 ---- 矩阵的更多学问（2） 保藏 矩阵的逆 另外一种重要的矩阵运算是矩阵的求逆，这个运算只能用于方阵。 运算法则 方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。表示为公式9.6的形式 并非全部的矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为0， 用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。假如一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。假如一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不行逆的或奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，所以检测行列式的值是推断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于随意可逆矩阵M，当且仅当v0时，vM0。 M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面是一个例子，考虑前面给出的3x3阶矩阵M 计算M的代数余子式矩阵 M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置 一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。 其表示如公式9.7所示 例如为了求得上面矩阵的逆，有 当然还有其他方法可以用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法。很多线性代数书都断 定该方法更适合在计算机上实现，因为它所运用的代数运算较少，这种说法其实是不正确的。对于大矩阵或某些特别矩阵来说，这或许是对的。然而，对于低阶矩 阵，比如几何应用中常见的那些低阶矩阵，标准伴随矩阵可能更快一些。因为可以为标准伴随矩阵供应无分支（branchless）实现，这种实现方法在当今 的超标量体系结构和专用向量处理器上会更快一些。 矩阵的逆的重要性质 几何说明 矩阵的逆在几何上特别有用，因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变换。所以，假如向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会得到原向量。这很简洁通过代数方法验证 矩阵的行列式 在随意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。 线性运算法则 方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。n x n阶矩阵的行列式定义特别困难，让我们先从2 x 2，3 x 3矩阵起先。 公式9.1给出了2 x 2阶矩阵行列式的定义 留意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。 下面的示意图能帮助记忆公式9.1，将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。 3 x 3 阶矩阵的行列式定义如公式9.2所示 可以用类似的示意图来帮助记忆。把矩阵M连写两遍，将主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。 假如将3 x 3阶矩阵的行说明为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”。 假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。明显，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。 对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式，见公式9.3 如上，用记法cij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。留意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。代数余子式计算式中的项–1ij有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果 n维方阵的行列式存在着多个相等的定义，我们可以用代数余子式来定义矩阵的行列式（这种定义是递归的，因为代数余子式本身的定义就用到了矩阵的行列式）。 首先，从矩阵中随意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。例如，随意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示 下面举一个例子，重写3x3矩阵的行列式 综上，可导出4x4矩阵的行列式 高阶行列式计算的困难性是呈指数递增的。幸运的是，有一种称作”主元选择“的计算方法，它不影响行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一个元素（主元）外其他元素全为0，这样仅一个代数余子式须要计算。 行列式的一些重要性质 （1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积|AB| |A||B| 这可以扩展到多个矩阵 |M1 M2 ... Mn| |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn| （2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式|MT| |M| （3）假如矩阵的随意行或列全为0，那么它的行列式等于0. （4）交换矩阵的随意两行或两列，行列式变负。 （5）随意行或列的非零积加到另一行或列上不会变更行列式的积。 几何说明 矩阵的行列式有着特别好玩的几何说明。2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指假如平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变负。 3D中，行列式等于以变换后的基向量为三边的平行六面体的有符号的体积。3D中，假如变换使得平行六面体”有里向外“翻转，则行列式变负。 行列式与矩阵变换导致的尺寸变更相关，其中行列式的肯定值与面积（2D）、体积（3D）的变更相关，行列式的符号说明白变换矩阵是否包含镜像或投影。 矩阵的行列式还能对矩阵所代表的变换进行分类。假如矩阵的行列式为0，那么该矩阵包含投影。假如矩阵的行列式为负，那么该矩阵包含镜像。 4D向量和4x4矩阵不过是对3D运算的一种便利的记忆而已。 4D齐次空间 4D向量有4个重量，前3个是标准的x，y和z重量，第4个是w，有时称作齐次坐标。 为了理解标准3D坐标是怎样扩展到4D坐标的，让我们先看一下2D中的齐次坐 标，它的形式为（x, y, w）。想象在3D中w1处的标准2D平面，实际的2D点x, y用齐次坐标表示为x, y, 1，对于那些不在w1平面上的点，则将它们投影到w1平面上。所以齐次坐标x, y, w 映射的实际2D点为（x/w, y/w）。如图9.2所示 因此，给定一个2D点（x, y），齐次空间中有多数多个点与之对应。全部点的形式都为kx, ky, k，k≠0。这些点构成一条穿过齐次原点的直线。 当w0时，除法未定义，因此不存在实际的2D点。然而，可以将2D齐次点x, y, 0说明为位于无穷远的点，它描述了一个方向而不是一个位置。 4D坐标的基本思想相同，实际的3D点被认为是在4D中w1平面上。4D点的形式为x, y, z, w，将4D点投影到这个平面上得到相应的实际3D点（x/w, y/w, z/w）。w0时4D点表示无限远点，它描述了一个方向而不是一个位置。 4 X 4 平移矩阵 3x3变换矩阵表示的是线性变换，不包括平移。因为矩阵乘法的性质，零向量总 是变换成零向量。因此，任何能用矩阵乘法表达的变换都不包含平移。这很不幸，因为矩阵乘法和它的逆是一种特别便利的工具，不仅可以用来将困难的变换组合成 简洁的单一变换，还可以操纵嵌入式坐标系间的关系