3.6.1直线和圆的位置关系

直线和圆的位置关系 一、学法点津 首先学生可以通过视察感受生活中反映的直线与圆位置关系的现象，然后通过自己动手操作，在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆进行实际体验，从而归纳出直线和圆的几种位置关系，然后类比点和圆的位置关系的探究方法，进一步探究出直线和圆的不同位置关系中d与r的大小关系，然后对d＝r的情形特殊关注，从而归纳出切线的性质，并学会运用其解决问题． 二、学点归纳总结 一学问要点总结 1．切线的概念 直线和圆有唯一的公共点即直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点． 2．直线和圆的位置关系“三、二、一” 1三种位置关系相交、相切、相离． 2两种推断方法 ①利用直线和圆的公共点个数推断 直线l和⊙O相交⇔两个公共点； 直线l和⊙O相切⇔一个公共点； 直线l和⊙O相离⇔无公共点． ②利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来推断 直线l和⊙O相交⇔dr； 直线l和⊙O相切⇔d＝r； 直线l和⊙O相离⇔dr. 3一特性质 切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径． 二规律方法总结 1．直线和圆的位置关系的两种推断方法 1利用直线和圆的公共点个数来推断； 2利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来推断． 2．圆中常用的协助线作法见切点连半径． 三易错问题误区点拨 对直线和圆的位置关系把握不清． 【典例】 ⊙O的半径为5，P是直线l上的一点，且OP＝5，则此直线l与⊙O的位置关系是________． 【错解】 相切 【错解分析】 往往会误认为这里的OP⊥l，得出OP＝r，认为直线和圆相切，从而忽视OP与直线l不垂直的可能性． 【正解】 相交或相切 【正解分析】 若OP⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OP的长，等于半径，所以直线l与⊙O相切；若OP与直线l不垂直，依据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与⊙O相交． 三、巩固拓展练习 1．[黔东南州中考] 在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3 cm，BC＝4 cm，以点C为圆心，r为半径作圆，若⊙C与直线AB相切，则r的值为 B A．2 cm B．2.4 cm C．3 cm D．4 cm 2．[玉林中考] 如图3－6－29，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cosE＝______． 图3－6－29 图3－6－30 [解析] 连接MF，OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图3－6－30， ∵直线MN与⊙O相切于点M，∴OM⊥MN. ∵EF∥MN，∴MC⊥EF，∴CE＝CF， ∴ME＝MF，而ME＝EF， ∴ME＝EF＝MF，∴△MEF为等边三角形， ∴∠E＝60，∴cosE＝cos60＝. 3．如图3－6－31，已知∠AOB＝30，P是OA上的一点，OP＝24 cm，以r为半径作⊙P. 图3－6－31 1若r＝12 cm，试推断⊙P与OB的位置关系； 2若⊙P与OB相离，试求出r满意的条件． 解如图3－6－32，过点P作PC⊥OB，垂足为C，则∠OCP＝90. 图3－6－32 ∵∠AOB＝30，OP＝24 cm，∴PC＝OP＝12 cm. 1当r＝12 cm时，r＝PC，∴⊙P与OB相切，即⊙P与OB的位置关系是相切． 2当⊙P与OB相离时，r＜PC，∴r满意的条件是0＜r＜12 cm. 4．[株洲中考] 如图3－6－33，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C. 图3－6－33 1求∠BAC的度数； 2求证AD＝CD. 解1∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90. ∵直线BC与⊙O相切于点B，∴∠ABC＝90. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45， ∴∠BAC＝180－90－45＝45. 2证明由①知∠BAC＝∠ACB＝45，∴AB＝CB，而BD⊥AC，∴AD＝CD. 四、挑战课标中考 1．[益阳中考] 如图3－6－34，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为－3，0，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为B 图3－6－34 A．1 B．1或5 C．3 D．5 [解析] 当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1；当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5.故选B. [解题策略] 本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 2.[西宁中考] ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为__4__． [解析] ∵R，d是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且直线l与⊙O相切，∴R＝d，∴方程有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4m＝0，解得m＝4. [解题策略] 本题考查的是切线的性质及一元二次方程根的判别式，熟知以上学问是解答此题的关键． 3．[枣庄中考] 如图3－6－35，A为⊙O外一点，AB切⊙O于点B，AO交⊙O于点C，CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，连接OD.若AB＝12，AC＝8. 图3－6－35 1求OD的长； 2求CD的长． [解析] 1设⊙O的半径为R，依据切线性质得OB⊥AB，则在Rt△ABO中，利用勾股定理得到R2＋122＝R＋82，解得R＝5，即OD的长为5； 2依据垂径定理，由CD⊥OB，得DE＝CE，再证明△OEC∽△OBA，利用相像比可计算出CE＝，所以CD＝2CE＝. 解1设⊙O的半径为R，∵AB切⊙O于点B，∴OB⊥AB. 在Rt△ABO中，OB＝R，AO＝OC＋AC＝R＋8，AB＝12. ∵OB2＋AB2＝OA2，∴R2＋122＝R＋82，解得R＝5，∴OD的长为5. 2∵CD⊥OB，∴DE＝CE.∵OB⊥AB，∴CE∥AB，∴△OEC∽△OBA， ∴＝，即＝， ∴CE＝，∴CD＝2CE＝. [解题策略] 本题考查了切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径．同时考查了勾股定理、垂径定理和相像三角形的判定与性质．