3.51垂径定理—知识讲解(基础)

3.51垂径定理学问讲解（基础） 【学习目标】 1.理解圆的对称性； 2.驾驭垂径定理及其推论； 3.利用垂径定理及其推论进行简洁的计算和证明. 【要点梳理】 学问点一、垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释 1垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 2这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 学问点二、垂径定理的拓展 依据圆的对称性及垂径定理还有如下结论 （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点诠释 在垂径定理及其推论中过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道随意两个，就能推出其他三个结论.（留意“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【典型例题】 类型一、应用垂径定理进行计算与证明 1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（ ） A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm 【思路点拨】 欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA. 【答案】D； 【解析】连OA，由垂径定理知， 所以在Rt△AOD中，（cm）． 所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）. 【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。 举一反三 【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE3cm，BE5cm，求圆心O到弦CD 距离。 【答案】． 2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ） A．MP与RN的大小关系不定 B．MP＝RN C．MP＜RN D．MP＞RN 【答案】B； 【解析】比较线段MP与RN的大小关系，首先可通过测量揣测MP与RN相等， 而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP≌△ONR， 假如联想到垂径定理，可过O作OE⊥MN于E，则ME＝NE，PE＝RE， ∴ ME－PE＝NE－RE，即MP＝RN． 【点评】在圆中，解有关弦的问题时，经常须要作“垂直于弦的直径”. 举一反三 【变式】已知如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O. 若圆O的半径是5，且，AD13. 求弦BC的长. 【答案】6. 类型二、垂径定理的综合应用 3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形劣弧，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（ ） A．5m B．8m C．7m D．m 【思路点拨】 解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题． 【答案】B； 【解析】如图2，表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为的中点， CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为的圆心，依据垂径定理的推论可知， C、D、O三点共线，且OC平分AB． 在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25． ∴ OD＝5， ∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m． 【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解. 4．如图，一条马路的转弯处是一段圆弧即图中，点O是的圆心，其中CD600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF90m，求这段弯路的半径． 【答案与解析】 如图，连接OC， 设弯路的半径为R，则OFR-90m， ∵OE⊥CD， ∴CFCD600300m， 依据勾股定理，得OC2CF2OF2 即R23002R-902 ，解得R545， ∴这段弯路的半径为545m． 【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中运用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法肯定要驾驭． 举一反三 【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB60m，水面到拱顶距离CD18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危急，现在水面宽MN32m时是否须要实行紧急措施请说明理由． 【答案】不须要实行紧急措施 设OAR，在Rt△AOC中，AC30，OCOD-CDR-18， R2302R-182， R2900R2-36R324， 解得R34m. 连接OM，设DEx，在Rt△MOE中，ME16， 34216234-x2， x2-68x2560， 解得x14，x264不合题意，舍， ∴DE4m＞3m， ∴不需实行紧急措施． 【巩固练习】 一、选择题 1.下列结论正确的是（ ） A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴 C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴 2．下列命题中错误的有 ． 1弦的垂直平分线经过圆 2平分弦的直径垂直于弦 3梯形的对角线相互平分 4圆的对称轴是直径 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有 ． A．l对 B．2对 C．3对 D．4对 第3题 第5题 4．AB为⊙O的弦，OC⊥AB，C为垂足，若OA＝2，OC＝l，则AB的长为 ． A． B． C． D． 5．如图所示，矩形ABCD与⊙O相交于M、N、F、E，若AM2，DE1，EF8，则MN的长为（ ）