3.3.1两条直线的交点坐标

3.3.1 两条直线的交点坐标 [来源Z|xx|k.Com] 【教学目标】 1.驾驭两直线方程联立方程组解的状况与两直线不同位置的对立关系，并且会通过直线方程系数判定解的状况， 2.当两条直线相交时，会求交点坐标. 3.学生通过一般形式的直线方程解的探讨，加深对解析法的理解，培育转化实力. 【重点难点】 教学重点依据直线的方程推断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点对方程组系数的分类探讨与两直线位置关系对应状况的理解. 【教学过程】 导入新课 问题1.作出直角坐标系中两条直线，移动其中一条直线，让学生视察这两条直线的位置关系. 课堂设问由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那假如两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系你能求出它们的交点坐标吗说说你的看法. 问题2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标这节课我们就来探讨这个问题. 新知探究 提出问题 ①已知两直线l1A1xB1yC10,l2A2xB2yC20,如何推断这两条直线的关系 ②假如两条直线相交，怎样求交点坐标交点坐标与二元一次方程组有什关系 ③解下列方程组由学生完成 如何依据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系 ④当λ改变时，方程3x4y-2λ2xy20表示什么图形，图形有什么特点求出图形的交点坐标. 探讨结果①老师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看下表，并填空. 几何元素及关系 代数表示 点A Aa，b 直线l lAxByC0 点A在直线上 直线l1与l2的交点A ②学生进行分组探讨，老师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是l1A1xB1yC10,l2A2xB2yC20, 假如这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标肯定是这两个方程的唯一公共解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组是否有唯一解. ⅰ若二元一次方程组有唯一解，则l1与l2相交; ⅱ若二元一次方程组无解，则l1与l2平行; ⅲ若二元一次方程组有多数解，则l1与l2重合.即 直线l1、l2联立得方程组 代数问题 几何问题 ③引导学生视察三组方程对应系数比的特点 一般地，对于直线l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20A1B1C1≠0,A2B2C2≠0,有 方程组. 留意a此关系不要求学生作具体的推导,因为过程比较繁杂，重在应用. b假如A1,A2,B1,B2,C1,C2中有等于零的状况，方程比较简洁，两条直线的位置关系很简洁确定. ④a可以用信息技术，当λ取不同值时，通过各种图形，经过视察，让学生从直观上得出结论，同时发觉这些直线的共同特点是经过同一点. b找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论.[来源学*科*网] c结论方程表示经过这两条直线l1与l2的交点的直线的集合. 应用示例 例1 求下列两直线的交点坐标,l13x4y-20,l22xy20. 解解方程组得x-2，y2，所以l1与l2的交点坐标为M-2，2. 变式训练 求经过原点且经过以下两条直线的交点的直线方程.l1x-2y20,l22x-y-20. 解解方程组x-2y20, 2x-y-20, 得x2, y2,所以l1与l2的交点是2,2. 设经过原点的直线方程为ykx,把点2,2的坐标代入以上方程,得k1,所以所求直线方程为yx. 点评此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例2 推断下列各对直线的位置关系.假如相交，求出交点坐标. 1l1x-y0，l23x3y-100. 2l13x-y40，l26x-2y-10. 3l13x4y-50，l26x8y-100. 活动老师让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清晰，表达是否简洁，然后再进行讲评. 解1解方程组得 所以l1与l2相交,交点是,. 2解方程组 ①2-②得90,冲突, 方程组无解,所以两直线无公共点,l1∥l2. 3解方程组 ①2得6x8y-100. 因此,①和②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线,l1与l2重合. 变式训练 判定下列各对直线的位置关系，若相交，则求交点. 1l17x2y-10,l214x4y-20. 2l1-xy7,l2xy-60. 3l13x5y-10,l24x3y5. 答案1重合，2平行，3相交，交点坐标为2，－1. 例3 求经过两直线2x-3y-30和xy20的交点且与直线3xy-10平行的直线方程. 思路解析依据本题的条件，一种思路是先求出交点坐标，再设所求直线的点斜式方程求出所要求的直线方程；另一种思路是利用直线系平行系或过定点系干脆设出方程，依据条件求未知量，得出所求直线的方程. 解方法一由方程组得 ∵直线l和直线3xy-10平行， ∴直线l的斜率k-3. ∴依据点斜式有y--3［x-］， 即所求直线方程为15x5y160. 方法二∵直线l过两直线2x-3y-30和xy20的交点， ∴设直线l的方程为2x-3y-3λxy20， 即λ2xλ-3y2λ-30. ∵直线l与直线3xy-10平行， ∴.解得λ. 从而所求直线方程为15x5y160. 点评考查娴熟求解直线方程，留意应用直线系快速简洁解决问题。 变式训练 求经过两条直线l1xy-40和l2x-y20的交点，且与直线2x-y-10垂直的直线方程 例4 求证不论m取什么实数，直线2m-1xm3y-m-110都经过一个定点，并求出这个定点的坐标. 思路解析题目所给的直线方程的系数含有字母m，给m任何一个实数值，就可以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以m为参数的直线系方程.要证明这个直线系中的直线都过肯定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出m的两个特别值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都过的定点. 另一个思路是由于方程对随意的m都成立，那么就以m为未知数，整理为关于m的一元一次方程，再由一元一次方程有多数个解的条件求得定点的坐标. 解解法一对于方程2m-1xm3y-m-110，令m0，得x-3y-110；令m1，得x4y100.解方程组得两条直线的交点为2，-3