3.1.1倾斜角与斜率教案

河北武邑中学课堂教学设计 备课人 授课时间 课题 3．1．1直线的倾斜角和斜率 教 学 目 标 学问与技能 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.理解直线的斜率的存在性. 斜率公式的推导过程，驾驭过两点的直线的斜率公式． 过程与方法 启发引导，合作探讨，探究归纳 情感看法价值观 培育学生树立辩证统一的观点，培育学生形成严谨的科学看法和求简的数学精神． 重点 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 难点 斜率的概念和公式. 教 学 设 计 教学内容 教学环节与活动设计 （一） 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有确定一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图, 过一点P可以作多数多条直线a,b,c, 易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢 1它们都经过点P. 2它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同 引入直线的倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. 河北武邑中学课堂教学设计 教 学 设 计 教学内容 教学环节与活动设计 特殊地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α 0. 问 倾斜角α的取值范围是什么 0≤α＜180. 当直线l与x轴垂直时, α 90. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 如图, 直线a∥b∥c, 那么它们 的倾斜角α相等吗 答案是确定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素 一个点P和一个倾斜角α. 二 直线的斜率 一条直线的倾斜角αα≠90的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α0, k tan00; ⑵当直线l与x轴垂直时, α 90, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α确定存在,但是斜率k不确定存在. 例如α45时, k tan45 1; α135时, k tan135 tan180－ 45 - tan45 - 1. 河北武邑中学课堂教学设计 教 学 设 计 教学内容 教学环节与活动设计 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 三 直线的斜率公式 给定两点P1x1,y1,P2x2,y2,x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率 可用计算机作动画演示 直线P1P2的四种状况, 并引导学生如何作协助线, 共同完成斜率公式的推导.略斜率公式 对于上面的斜率公式要留意下面四点 1 当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α 90, 直线与x轴垂直； 2k与P1、P2的依次无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; 3斜率k可以不通过倾斜角而干脆由直线上两点的坐标求得; 4 当 y1y2时, 斜率k 0, 直线的倾斜角 α0，直线与x轴平行或重合. 5求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求 斜率而得到． 四 例题 例1 已知A3, 2, B-4, 1, C0, -1, 求直线AB, BC, CA的斜率, 并推断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 河北武邑中学课堂教学设计 程 及 方 法 教学内容 教学环节与活动设计 用计算机作直线, 图略 分析 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k tanα0时, 倾斜角α是钝角;当k tanα0时, 倾斜角α是锐角;当k tanα0时, 倾斜角α是0. 略解 直线AB的斜率k11/70, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC的斜率k2-0.50, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k310, 所以它的倾斜角α是锐角. 例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以依据直线a的斜率确定; 或者ktanα1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解 设直线a上的另外一点M的坐标为x,y,依据斜率公式有 1y－0／x－0，所以 x y。 M1,1, 可作直线a. 同理, 可作直线b, c, l.用计算机作动画演示画直线过程 五 练习 P91 1. 2. 3. 4. 教 学 小 结 1直线的倾斜角和斜率的概念． 2 直线的斜率公式. 课后 反思