3.1.1两角差的余弦公式教案(示范课)

3.1.1两角差的余弦公式教案 玉林中学数学科 授课人饶蔼 一. 教材分析 本节课选自人教A版中学数学必修4第三章三角恒等变换第一节课“两角差的余弦公式”。变换是数学的重要工具，而三角恒等变换处于三角函数学问与数学变换的结合点和交汇点，是前面所学三角函数学问的接着与发展，是培育学生推理实力和运算实力的重要素材。两角差的余弦公式是“三角恒等变换”这一章的基础和动身点，公式的发觉和证明是本节课的重点，也是难点。 教材选择两角差的余弦公式作为基础，其基本动身点是使公式的证明过程尽量简洁明白，易于学生理解和驾驭，同时也有利于提高学生运用向量解决相关问题的意识和实力。教材里面没有干脆给出两角差的余弦公式，而是分探求结果、证明结果两步进行，从简洁状况入手得出结果，有利于学生学会探究和思维的发展. 由于本节课可以从不同的角度提出不同的问题，并且可以用不同的途径与方法解决问题，因此本节课为学生的思维发展供应了很好的空间和平台，老师要留意引导学生用视察、联想、对比、化归等方法分析问题，找寻解决问题的思路. 二. 教学目标 1. 学问与技能通过让学生探究、猜想、发觉并推导“两角差的余弦公式”，通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础. 2. 过程与方法在探究公式的过程中，逐步培育学生学会分析问题、解决问题、合作沟通的实力；通过两角差的余弦公式的简洁运用,驾驭不同方法求值. 3. 情感看法通过课题背景的设计，增加学生的探究、应用意识，相识到数学来源于生活，激发学生的学习主动性. 三．教学重、难点 1. 重点两角差余弦公式的探究、证明过程和公式的初步应用. 2. 难点探究过程的组织和适当引导. 四．学情分析 学生已经驾驭了利用单位圆上点的坐标定义随意角的三角函数，也学习了同角三角函数式的变换；理解了平面对量及其运算的意义，并能用数量积表示两个向量的夹角，经验了用向量方法解决某些简洁的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，具有肯定的推理实力、运算实力和解决实际问题的实力，但利用向量的数量积公式证明两角差的余弦公式时，学生简洁犯思维不严谨、不严密的错误，教学时须要引导学生搞清晰两角差与相应向量夹角的联系与区分. 五. 教法、学法 1. 教法问题驱动、引导发觉、合作探究相结合的教学方法绽开教学. 2. 学法课前预习、小组探究、反思小结等. 六. 教学过程 （一）创设情境，引入课题 金城超市电梯长度约为8米，坡度（与地面夹角）约为30度，请问当我们上完电梯后，在水平方向上前进了多少米 设前进量为米，则米 8 m 提问当电梯坡度为45度时，其他不变，等于多少 答米 提问当电梯坡度为15度时，此时又等于多少 答米 问题1等于多少能否用特别角三角函数值来表示 【设计意图】从学生的实际生活动身，自然地引出问题，培育学生把实际问题抽象为数学模型来解决的实力，让学生感知数学来源于生活，并应用于生活，激发学生的学习爱好； （二）探究归纳，提出猜想 问题2对随意的，是否成立 1. 思索能否用特别角表示 预案1 问是否成立为什么 预案2 问是否成立为什么 【设计意图】让学生经验提出假设 证明假设的过程，知道要证明一个假设不成立，只需举出反例即可，即明白特别与一般的辩证关系。 2. 探究能否用特别角三角函数来表示如何表示 提示构造特别三角形或利用单位圆、向量学问 A B C 150 D 1 预案1构造直角三角形 B O x y 预案2利用单位圆、向量学问 A 得出结论 提出猜想对随意的，都有. 【设计意图】通过求的值，让小组展示成果，不仅培育学生合作探究实力、表达实力，还培育了视察实力、归纳实力，并由此提出猜想，使学生懂得如何探究问题，从特别状况迁移到一般状况下的探讨，为下个环节能突出重点起到铺垫作用。 （三）小组合作，证明猜想 问题3以上探究值时，都是用到特别角来求值，对一般状况下的角是否成立 探究证明对随意的都有. 预案1利用单位圆、向量学问。 O x y 问题4如何探讨的随意性 若 则 而 O x y 预案2利用三角函数线 此时，过P点作垂线PA ⊥OP1于点A， PM ⊥Ox于点M. 过A点作垂线AB⊥OM于点B， 过P点作垂线PC ⊥ AB于点C. 则 定义 ，都有，称为差角余弦公式。 记为，特征随意角、同名积、符号反 【设计意图】本环节由小组展示探究过程，让学生依据已有的阅历（探究）去证明一般状况下的结论，符合学生的思维发展规律。通过各种方法的证明和老师适当的点评、指导，起到突出本节课重点的作用。在探究角的随意性过程中，也培育了学生严谨的逻辑思维实力。 （四）.小试牛刀，学以致用 例1利用差角余弦公式求的值 法1 法2 变式1利用差角余弦公式求的值 法1 法2 【设计意图】通过公式的简洁应用，使学生初步理解公式的结构及其功能，并为建立其他和差公式打好基础；通过变式的应用，培育学生用多种方法解决问题的实力。 （五）课堂小结，回顾反思 1.这堂课你学到了什么内容如何学习的 ①学习了差角余弦公式； ②假设猜想反证否定用向量、三角函数线探究公式证明结论公式应用 2.学习与应用过程中，你有什么体会 ①证明一个假设不成立，只需举出反例即可。 ②探究证明公式过程中，可以通过特别状况去探讨证明一般状况。 ③公式应用中，可以有不同的解题方法。 【设计意图】让学生对探究的过程与思路、方法有一个清晰的相识，进一步达到“教思维”的目的。 （六）布置作业，巩固提高 1. 基础必做题（四选三）课本P137习题3.1第2、3、4、5题； 2. 合作探究题猜想并证明和； 3. 拓展选做题求 的值.